Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d t} = e^{2 t} - 2 y$ , $y (1) = 2$

Этап 1

Добавим $2 y$ к обеим частям уравнения.

$\frac{d y}{d t} + 2 y = e^{2 t}$

Этап 2

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (t) d t}$ , где $P (t) = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int 2 d t}$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$e^{2 t + C}$

Этап 2.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{2 t}$

Этап 3

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $e^{2 t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член на $e^{2 t}$ .

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + e^{2 t} (2 y) = e^{2 t} e^{2 t}$

Этап 3.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = e^{2 t} e^{2 t}$

Этап 3.3

Умножим $e^{2 t}$ на $e^{2 t}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = e^{2 t + 2 t}$

Этап 3.3.2

Добавим $2 t$ и $2 t$ .

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = e^{4 t}$

Этап 3.4

Изменим порядок множителей в $e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = e^{4 t}$ .

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 y e^{2 t} = e^{4 t}$

Этап 4

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d t} [e^{2 t} y] = e^{4 t}$

Этап 5

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d t} [e^{2 t} y] d t = \int e^{4 t} d t$

Этап 6

Проинтегрируем левую часть.

$e^{2 t} y = \int e^{4 t} d t$

Этап 7

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Пусть $u = 4 t$ . Тогда $d u = 4 d t$ , следовательно $\frac{1}{4} d u = d t$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Пусть $u = 4 t$ . Найдем $\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.1

Дифференцируем $4 t$ .

$\frac{d}{d t} [4 t]$

Этап 7.1.1.2

Поскольку $4$ является константой относительно $t$ , производная $4 t$ по $t$ равна $4 \frac{d}{d t} [t]$ .

$4 \frac{d}{d t} [t]$

Этап 7.1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Этап 7.1.1.4

Умножим $4$ на $1$ .

$4$

Этап 7.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$e^{2 t} y = \int e^{u} \frac{1}{4} d u$

Этап 7.2

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{4}$ .

$e^{2 t} y = \int \frac{e^{u}}{4} d u$

Этап 7.3

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$e^{2 t} y = \frac{1}{4} \int e^{u} d u$

Этап 7.4

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$e^{2 t} y = \frac{1}{4} (e^{u} + C)$

Этап 7.5

Упростим.

$e^{2 t} y = \frac{1}{4} e^{u} + C$

Этап 7.6

Заменим все вхождения $u$ на $4 t$ .

$e^{2 t} y = \frac{1}{4} e^{4 t} + C$

Этап 8

Разделим каждый член $e^{2 t} y = \frac{1}{4} e^{4 t} + C$ на $e^{2 t}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим каждый член $e^{2 t} y = \frac{1}{4} e^{4 t} + C$ на $e^{2 t}$ .

$\frac{e^{2 t} y}{e^{2 t}} = \frac{\frac{1}{4} e^{4 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Этап 8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сократим общий множитель $e^{2 t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{2 t} y}{e^{2 t}} = \frac{\frac{1}{4} e^{4 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Этап 8.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{4} e^{4 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Этап 8.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Сократим общий множитель $e^{4 t}$ и $e^{2 t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1.1

Вынесем множитель $e^{2 t}$ из $\frac{1}{4} e^{4 t}$ .

$y = \frac{e^{2 t} (\frac{1}{4} e^{2 t})}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Этап 8.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1.2.1

Умножим на $1$ .

$y = \frac{e^{2 t} (\frac{1}{4} e^{2 t})}{e^{2 t} \cdot 1} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Этап 8.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{e^{2 t} (\frac{1}{4} e^{2 t})}{e^{2 t} \cdot 1} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Этап 8.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{\frac{1}{4} e^{2 t}}{1} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Этап 8.3.1.1.2.4

Разделим $\frac{1}{4} e^{2 t}$ на $1$ .

$y = \frac{1}{4} e^{2 t} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Этап 8.3.1.2

Объединим $\frac{1}{4}$ и $e^{2 t}$ .

$y = \frac{e^{2 t}}{4} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Этап 9

Используем начальное условие, чтобы найти значение $C$ , подставив $1$ вместо $t$ и $2$ вместо $y$ в $y = \frac{e^{2 t}}{4} + \frac{C}{e^{2 t}}$ .

$2 = \frac{e^{2 \cdot 1}}{4} + \frac{C}{e^{2 \cdot 1}}$

Этап 10

Решим относительно $C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{e^{2 \cdot 1}}{4} + \frac{C}{e^{2 \cdot 1}} = 2$ .

$\frac{e^{2 \cdot 1}}{4} + \frac{C}{e^{2 \cdot 1}} = 2$

Этап 10.2

Упростим $\frac{e^{2 \cdot 1}}{4} + \frac{C}{e^{2 \cdot 1}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{e^{2}}{4} + \frac{C}{e^{2 \cdot 1}} = 2$

Этап 10.2.2

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{e^{2}}{4} + \frac{C}{e^{2}} = 2$

Этап 10.3

Вычтем $\frac{e^{2}}{4}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{C}{e^{2}} = 2 - \frac{e^{2}}{4}$

Этап 10.4

Умножим обе части уравнения на $e^{2}$ .

$e^{2} \frac{C}{e^{2}} = e^{2} (2 - \frac{e^{2}}{4})$

Этап 10.5

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1.1

Сократим общий множитель $e^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1.1.1

Сократим общий множитель.

$e^{2} \frac{C}{e^{2}} = e^{2} (2 - \frac{e^{2}}{4})$

Этап 10.5.1.1.2

Перепишем это выражение.

$C = e^{2} (2 - \frac{e^{2}}{4})$

Этап 10.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.2.1

Упростим $e^{2} (2 - \frac{e^{2}}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$C = e^{2} \cdot 2 + e^{2} (- \frac{e^{2}}{4})$

Этап 10.5.2.1.2

Перенесем $2$ влево от $e^{2}$ .

$C = 2 \cdot e^{2} + e^{2} (- \frac{e^{2}}{4})$

Этап 10.5.2.1.3

Умножим $e^{2} (- \frac{e^{2}}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.2.1.3.1

Объединим $e^{2}$ и $\frac{e^{2}}{4}$ .

$C = 2 \cdot e^{2} - \frac{e^{2} e^{2}}{4}$

Этап 10.5.2.1.3.2

Умножим $e^{2}$ на $e^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.2.1.3.2.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$C = 2 \cdot e^{2} - \frac{e^{2 + 2}}{4}$

Этап 10.5.2.1.3.2.2

Добавим $2$ и $2$ .

$C = 2 \cdot e^{2} - \frac{e^{4}}{4}$

$C = 2 e^{2} - \frac{e^{4}}{4}$

Этап 11

Подставим $2 e^{2} - \frac{e^{4}}{4}$ вместо $C$ в $y = \frac{e^{2 t}}{4} + \frac{C}{e^{2 t}}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Подставим $2 e^{2} - \frac{e^{4}}{4}$ вместо $C$ .

$y = \frac{e^{2 t}}{4} + \frac{2 e^{2} - \frac{e^{4}}{4}}{e^{2 t}}$

Этап 11.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Чтобы записать $2 e^{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{e^{2 t}}{4} + \frac{2 e^{2} \cdot \frac{4}{4} - \frac{e^{4}}{4}}{e^{2 t}}$

Этап 11.2.1.2

Объединим $2 e^{2}$ и $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{e^{2 t}}{4} + \frac{\frac{2 e^{2} \cdot 4}{4} - \frac{e^{4}}{4}}{e^{2 t}}$

Этап 11.2.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{e^{2 t}}{4} + \frac{\frac{2 e^{2} \cdot 4 - e^{4}}{4}}{e^{2 t}}$

Этап 11.2.1.4

Умножим $4$ на $2$ .

$y = \frac{e^{2 t}}{4} + \frac{\frac{8 e^{2} - e^{4}}{4}}{e^{2 t}}$

Этап 11.2.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$y = \frac{e^{2 t}}{4} + \frac{8 e^{2} - e^{4}}{4} \cdot \frac{1}{e^{2 t}}$

Этап 11.2.3

Умножим $\frac{8 e^{2} - e^{4}}{4}$ на $\frac{1}{e^{2 t}}$ .

$y = \frac{e^{2 t}}{4} + \frac{8 e^{2} - e^{4}}{4 e^{2 t}}$

Этап 11.3

Чтобы записать $\frac{e^{2 t}}{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{e^{2 t}}{e^{2 t}}$ .

$y = \frac{e^{2 t}}{4} \cdot \frac{e^{2 t}}{e^{2 t}} + \frac{8 e^{2} - e^{4}}{4 e^{2 t}}$

Этап 11.4

Умножим $\frac{e^{2 t}}{4}$ на $\frac{e^{2 t}}{e^{2 t}}$ .

$y = \frac{e^{2 t} e^{2 t}}{4 e^{2 t}} + \frac{8 e^{2} - e^{4}}{4 e^{2 t}}$

Этап 11.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{e^{2 t} e^{2 t} + 8 e^{2} - e^{4}}{4 e^{2 t}}$

Этап 11.6

Умножим $e^{2 t}$ на $e^{2 t}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.6.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \frac{e^{2 t + 2 t} + 8 e^{2} - e^{4}}{4 e^{2 t}}$

Этап 11.6.2

Добавим $2 t$ и $2 t$ .

$y = \frac{e^{4 t} + 8 e^{2} - e^{4}}{4 e^{2 t}}$