Математический анализ Примеры

$x \frac{d y}{d x} - 2 = y^{2} - 3 y$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Решим относительно $\frac{d y}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x \frac{d y}{d x} = y^{2} - 3 y + 2$

Этап 1.1.2

Разделим каждый член $x \frac{d y}{d x} = y^{2} - 3 y + 2$ на $x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разделим каждый член $x \frac{d y}{d x} = y^{2} - 3 y + 2$ на $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{y^{2}}{x} + \frac{- 3 y}{x} + \frac{2}{x}$

Этап 1.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{y^{2}}{x} + \frac{- 3 y}{x} + \frac{2}{x}$

Этап 1.1.2.2.1.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x} + \frac{- 3 y}{x} + \frac{2}{x}$

Этап 1.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x} - \frac{3 y}{x} + \frac{2}{x}$

Этап 1.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} - 3 y}{x} + \frac{2}{x}$

Этап 1.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} - 3 y + 2}{x}$

Этап 1.2.3

Разложим $y^{2} - 3 y + 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $2$ , а сумма — $- 3$ .

$- 2, - 1$

Этап 1.2.3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{d y}{d x} = \frac{(y - 2) (y - 1)}{x}$

Этап 1.3

Умножим обе части на $\frac{1}{(y - 2) (y - 1)}$ .

$\frac{1}{(y - 2) (y - 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{(y - 2) (y - 1)} \cdot \frac{(y - 2) (y - 1)}{x}$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $(y - 2) (y - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{(y - 2) (y - 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{(y - 2) (y - 1)} \cdot \frac{(y - 2) (y - 1)}{x}$

Этап 1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{(y - 2) (y - 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Этап 1.5

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{(y - 2) (y - 1)} d y = \frac{1}{x} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{(y - 2) (y - 1)} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $A$ .

$\frac{A}{y - 2}$

Этап 2.2.1.1.2

$\frac{A}{y - 2} + \frac{B}{y - 1}$

Этап 2.2.1.1.3

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $(y - 2) (y - 1)$ .

$\frac{1 (y - 2) (y - 1)}{(y - 2) (y - 1)} = \frac{(A) (y - 2) (y - 1)}{y - 2} + \frac{(B) (y - 2) (y - 1)}{y - 1}$

Этап 2.2.1.1.4

Сократим общий множитель $y - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (y - 2) (y - 1)}{(y - 2) (y - 1)} = \frac{(A) (y - 2) (y - 1)}{y - 2} + \frac{(B) (y - 2) (y - 1)}{y - 1}$

Этап 2.2.1.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1 (y - 1)}{y - 1} = \frac{(A) (y - 2) (y - 1)}{y - 2} + \frac{(B) (y - 2) (y - 1)}{y - 1}$

Этап 2.2.1.1.5

Сократим общий множитель $y - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (y - 1)}{y - 1} = \frac{(A) (y - 2) (y - 1)}{y - 2} + \frac{(B) (y - 2) (y - 1)}{y - 1}$

Этап 2.2.1.1.5.2

Перепишем это выражение.

$1 = \frac{(A) (y - 2) (y - 1)}{y - 2} + \frac{(B) (y - 2) (y - 1)}{y - 1}$

Этап 2.2.1.1.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.6.1

Сократим общий множитель $y - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.6.1.1

Сократим общий множитель.

$1 = \frac{A (y - 2) (y - 1)}{y - 2} + \frac{(B) (y - 2) (y - 1)}{y - 1}$

Этап 2.2.1.1.6.1.2

Разделим $(A) (y - 1)$ на $1$ .

$1 = (A) (y - 1) + \frac{(B) (y - 2) (y - 1)}{y - 1}$

Этап 2.2.1.1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = A y + A \cdot - 1 + \frac{(B) (y - 2) (y - 1)}{y - 1}$

Этап 2.2.1.1.6.3

Перенесем $- 1$ влево от $A$ .

$1 = A y - 1 \cdot A + \frac{(B) (y - 2) (y - 1)}{y - 1}$

Этап 2.2.1.1.6.4

Перепишем $- 1 A$ в виде $- A$ .

$1 = A y - A + \frac{(B) (y - 2) (y - 1)}{y - 1}$

Этап 2.2.1.1.6.5

Сократим общий множитель $y - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.6.5.1

Сократим общий множитель.

$1 = A y - A + \frac{(B) (y - 2) (y - 1)}{y - 1}$

Этап 2.2.1.1.6.5.2

Разделим $(B) (y - 2)$ на $1$ .

$1 = A y - A + (B) (y - 2)$

Этап 2.2.1.1.6.6

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = A y - A + B y + B \cdot - 2$

Этап 2.2.1.1.6.7

Перенесем $- 2$ влево от $B$ .

$1 = A y - A + B y - 2 B$

Этап 2.2.1.1.7

Перенесем $- A$ .

$1 = A y + B y - A - 2 B$

Этап 2.2.1.2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $y$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = A + B$

Этап 2.2.1.2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $y$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = - 1 A - 2 B$

Этап 2.2.1.2.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$0 = A + B$

$1 = - 1 A - 2 B$

$0 = A + B$

$1 = - 1 A - 2 B$

Этап 2.2.1.3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1

Решим относительно $A$ в $0 = A + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1.1

Перепишем уравнение в виде $A + B = 0$ .

$A + B = 0$

$1 = - 1 A - 2 B$

Этап 2.2.1.3.1.2

Вычтем $B$ из обеих частей уравнения.

$A = - B$

$1 = - 1 A - 2 B$

$A = - B$

$1 = - 1 A - 2 B$

Этап 2.2.1.3.2

Заменим все вхождения $A$ на $- B$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $1 = - 1 A - 2 B$ на $- B$ .

$1 = - 1 (- B) - 2 B$

$A = - B$

Этап 2.2.1.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.2.2.1

Упростим $- 1 (- B) - 2 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.2.2.1.1

Умножим $- 1 (- B)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.2.2.1.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 = 1 B - 2 B$

$A = - B$

Этап 2.2.1.3.2.2.1.1.2

Умножим $B$ на $1$ .

$1 = B - 2 B$

$A = - B$

$1 = B - 2 B$

$A = - B$

Этап 2.2.1.3.2.2.1.2

Вычтем $2 B$ из $B$ .

$1 = - B$

$A = - B$

$1 = - B$

$A = - B$

$1 = - B$

$A = - B$

$1 = - B$

$A = - B$

Этап 2.2.1.3.3

Решим относительно $B$ в $1 = - B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.3.1

Перепишем уравнение в виде $- B = 1$ .

$- B = 1$

$A = - B$

Этап 2.2.1.3.3.2

Разделим каждый член $- B = 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.3.2.1

Разделим каждый член $- B = 1$ на $- 1$ .

$\frac{- B}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

$A = - B$

Этап 2.2.1.3.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.3.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{B}{1} = \frac{1}{- 1}$

$A = - B$

Этап 2.2.1.3.3.2.2.2

Разделим $B$ на $1$ .

$B = \frac{1}{- 1}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{- 1}$

$A = - B$

Этап 2.2.1.3.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.3.2.3.1

Разделим $1$ на $- 1$ .

$B = - 1$

$A = - B$

$B = - 1$

$A = - B$

$B = - 1$

$A = - B$

$B = - 1$

$A = - B$

Этап 2.2.1.3.4

Заменим все вхождения $B$ на $- 1$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.4.1

Заменим все вхождения $B$ в $A = - B$ на $- 1$ .

$A = - (- 1)$

$B = - 1$

Этап 2.2.1.3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.4.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$A = 1$

$B = - 1$

$A = 1$

$B = - 1$

$A = 1$

$B = - 1$

Этап 2.2.1.3.5

Перечислим все решения.

$A = 1, B = - 1$

Этап 2.2.1.4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{y - 2} + \frac{B}{y - 1}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$\frac{1}{y - 2} + \frac{- 1}{y - 1}$

Этап 2.2.1.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int \frac{1}{y - 2} - \frac{1}{y - 1} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{1}{y - 2} d y + \int - \frac{1}{y - 1} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.3

Пусть $u_{1} = y - 2$ . Тогда $d u_{1} = d y$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Пусть $u_{1} = y - 2$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.1

Дифференцируем $y - 2$ .

$\frac{d}{d y} [y - 2]$

Этап 2.2.3.1.2

По правилу суммы производная $y - 2$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]$

Этап 2.2.3.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 2]$

Этап 2.2.3.1.4

Поскольку $- 2$ является константой относительно $y$ , производная $- 2$ относительно $y$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 2.2.3.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 2.2.3.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{1}{y - 1} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.4

Интеграл $\frac{1}{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} + \int - \frac{1}{y - 1} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} - \int \frac{1}{y - 1} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.6

Пусть $u_{2} = y - 1$ . Тогда $d u_{2} = d y$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1

Пусть $u_{2} = y - 1$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1.1

Дифференцируем $y - 1$ .

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

Этап 2.2.6.1.2

По правилу суммы производная $y - 1$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Этап 2.2.6.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Этап 2.2.6.1.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $y$ , производная $- 1$ относительно $y$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 2.2.6.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 2.2.6.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.7

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} - (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.8

Упростим.

$\ln (| u_{1} |) - \ln (| u_{2} |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.9

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| u_{1} |}{| u_{2} |}) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.10

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.10.1

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $y - 2$ .

$\ln (\frac{| y - 2 |}{| u_{2} |}) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.10.2

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $y - 1$ .

$\ln (\frac{| y - 2 |}{| y - 1 |}) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.3

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\ln (\frac{| y - 2 |}{| y - 1 |}) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (\frac{| y - 2 |}{| y - 1 |}) = \ln (| x |) + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (\frac{| y - 2 |}{| y - 1 |}) - \ln (| x |) = C$

Этап 3.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{\frac{| y - 2 |}{| y - 1 |}}{| x |}) = C$

Этап 3.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\ln (\frac{| y - 2 |}{| y - 1 |} \cdot \frac{1}{| x |}) = C$

Этап 3.4

Умножим $\frac{| y - 2 |}{| y - 1 |} \cdot \frac{1}{| x |}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Умножим $\frac{| y - 2 |}{| y - 1 |}$ на $\frac{1}{| x |}$ .

$\ln (\frac{| y - 2 |}{| y - 1 | | x |}) = C$

Этап 3.4.2

Для перемножения модулей следует перемножить члены внутри каждого модуля.

$\ln (\frac{| y - 2 |}{| (y - 1) x |}) = C$

Этап 3.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (\frac{| y - 2 |}{| y x - 1 x |}) = C$

Этап 3.5.2

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$\ln (\frac{| y - 2 |}{| y x - x |}) = C$

Этап 3.5.3

Вынесем множитель $x$ из $y x - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Вынесем множитель $x$ из $y x$ .

$\ln (\frac{| y - 2 |}{| x y - x |}) = C$

Этап 3.5.3.2

Вынесем множитель $x$ из $- x$ .

$\ln (\frac{| y - 2 |}{| x y + x \cdot - 1 |}) = C$

Этап 3.5.3.3

Вынесем множитель $x$ из $x y + x \cdot - 1$ .

$\ln (\frac{| y - 2 |}{| x (y - 1) |}) = C$

Этап 3.6

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (\frac{| y - 2 |}{| x (y - 1) |})} = e^{C}$

Этап 3.7

Перепишем $\ln (\frac{| y - 2 |}{| x (y - 1) |}) = C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y - 2 |}{| x (y - 1) |}$

Этап 3.8

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{| y - 2 |}{| x (y - 1) |} = e^{C}$ .

$\frac{| y - 2 |}{| x (y - 1) |} = e^{C}$

Этап 3.8.2

Умножим обе части на $| x (y - 1) |$ .

$\frac{| y - 2 |}{| x (y - 1) |} | x (y - 1) | = e^{C} | x (y - 1) |$

Этап 3.8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.3.1.1

Сократим общий множитель $| x (y - 1) |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{| y - 2 |}{| x (y - 1) |} | x (y - 1) | = e^{C} | x (y - 1) |$

Этап 3.8.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$| y - 2 | = e^{C} | x (y - 1) |$

Этап 3.8.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.3.2.1

Упростим $e^{C} | x (y - 1) |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.3.2.1.1

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.3.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$| y - 2 | = e^{C} | x y + x \cdot - 1 |$

Этап 3.8.3.2.1.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$| y - 2 | = e^{C} | x y - 1 \cdot x |$

Этап 3.8.3.2.1.2

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$| y - 2 | = e^{C} | x y - x |$

Этап 3.8.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.4.1

Перепишем уравнение в виде $e^{C} | x y - x | = | y - 2 |$ .

$e^{C} | x y - x | = | y - 2 |$

Этап 3.8.4.2

Разделим каждый член $e^{C} | x y - x | = | y - 2 |$ на $e^{C}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.4.2.1

Разделим каждый член $e^{C} | x y - x | = | y - 2 |$ на $e^{C}$ .

$\frac{e^{C} | x y - x |}{e^{C}} = \frac{| y - 2 |}{e^{C}}$

Этап 3.8.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.4.2.2.1

Сократим общий множитель $e^{C}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{C} | x y - x |}{e^{C}} = \frac{| y - 2 |}{e^{C}}$

Этап 3.8.4.2.2.1.2

Разделим $| x y - x |$ на $1$ .

$| x y - x | = \frac{| y - 2 |}{e^{C}}$

Этап 3.8.4.3

Перепишем это уравнение абсолютного значения в виде четырех уравнений без знаков модуля.

$x y - x = \frac{y - 2}{e^{C}}$

$x y - x = - \frac{y - 2}{e^{C}}$

$- (x y - x) = \frac{y - 2}{e^{C}}$

$- (x y - x) = - \frac{y - 2}{e^{C}}$

Этап 3.8.4.4

После упрощения остается решить только два уникальных уравнения.

$x y - x = \frac{y - 2}{e^{C}}$

$x y - x = - \frac{y - 2}{e^{C}}$

Этап 3.8.4.5

Решим $x y - x = \frac{y - 2}{e^{C}}$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.4.5.1

Умножим обе части на $e^{C}$ .

$(x y - x) e^{C} = \frac{y - 2}{e^{C}} e^{C}$

Этап 3.8.4.5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.4.5.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.4.5.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x y e^{C} - x e^{C} = \frac{y - 2}{e^{C}} e^{C}$

Этап 3.8.4.5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.4.5.2.2.1

Сократим общий множитель $e^{C}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.4.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$x y e^{C} - x e^{C} = \frac{y - 2}{e^{C}} e^{C}$

Этап 3.8.4.5.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$x y e^{C} - x e^{C} = y - 2$

Этап 3.8.4.5.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.4.5.3.1

Вычтем $y$ из обеих частей уравнения.

$x y e^{C} - x e^{C} - y = - 2$

Этап 3.8.4.5.3.2

Добавим $x e^{C}$ к обеим частям уравнения.

$x y e^{C} - y = - 2 + x e^{C}$

Этап 3.8.4.5.3.3

Вынесем множитель $y$ из $x y e^{C} - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.4.5.3.3.1

Вынесем множитель $y$ из $x y e^{C}$ .

$y (x e^{C}) - y = - 2 + x e^{C}$

Этап 3.8.4.5.3.3.2

Вынесем множитель $y$ из $- y$ .

$y (x e^{C}) + y \cdot - 1 = - 2 + x e^{C}$

Этап 3.8.4.5.3.3.3

Вынесем множитель $y$ из $y (x e^{C}) + y \cdot - 1$ .

$y (x e^{C} - 1) = - 2 + x e^{C}$

Этап 3.8.4.5.3.4

Разделим каждый член $y (x e^{C} - 1) = - 2 + x e^{C}$ на $x e^{C} - 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.4.5.3.4.1

Разделим каждый член $y (x e^{C} - 1) = - 2 + x e^{C}$ на $x e^{C} - 1$ .

$\frac{y (x e^{C} - 1)}{x e^{C} - 1} = \frac{- 2}{x e^{C} - 1} + \frac{x e^{C}}{x e^{C} - 1}$

Этап 3.8.4.5.3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.4.5.3.4.2.1

Сократим общий множитель $x e^{C} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.4.5.3.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (x e^{C} - 1)}{x e^{C} - 1} = \frac{- 2}{x e^{C} - 1} + \frac{x e^{C}}{x e^{C} - 1}$

Этап 3.8.4.5.3.4.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- 2}{x e^{C} - 1} + \frac{x e^{C}}{x e^{C} - 1}$

Этап 3.8.4.5.3.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.4.5.3.4.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{- 2 + x e^{C}}{x e^{C} - 1}$

Этап 3.8.4.5.3.4.3.2

Перепишем $- 2$ в виде $- 1 (2)$ .

$y = \frac{- 1 (2) + x e^{C}}{x e^{C} - 1}$

Этап 3.8.4.5.3.4.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $x e^{C}$ .

$y = \frac{- 1 (2) - (- x e^{C})}{x e^{C} - 1}$

Этап 3.8.4.5.3.4.3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (2) - (- x e^{C})$ .

$y = \frac{- 1 (2 - x e^{C})}{x e^{C} - 1}$

Этап 3.8.4.5.3.4.3.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{2 - x e^{C}}{x e^{C} - 1}$

Этап 3.8.4.6

Решим $x y - x = - \frac{y - 2}{e^{C}}$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.4.6.1

Умножим обе части на $e^{C}$ .

$(x y - x) e^{C} = - \frac{y - 2}{e^{C}} e^{C}$

Этап 3.8.4.6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.4.6.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.4.6.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x y e^{C} - x e^{C} = - \frac{y - 2}{e^{C}} e^{C}$

Этап 3.8.4.6.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.4.6.2.2.1

Упростим $- \frac{y - 2}{e^{C}} e^{C}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.4.6.2.2.1.1

Сократим общий множитель $e^{C}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.4.6.2.2.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{y - 2}{e^{C}}$ в числитель.

$x y e^{C} - x e^{C} = \frac{- (y - 2)}{e^{C}} e^{C}$

Этап 3.8.4.6.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$x y e^{C} - x e^{C} = \frac{- (y - 2)}{e^{C}} e^{C}$

Этап 3.8.4.6.2.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$x y e^{C} - x e^{C} = - (y - 2)$

Этап 3.8.4.6.2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x y e^{C} - x e^{C} = - y - - 2$

Этап 3.8.4.6.2.2.1.3

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$x y e^{C} - x e^{C} = - y + 2$

Этап 3.8.4.6.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.4.6.3.1

Добавим $y$ к обеим частям уравнения.

$x y e^{C} - x e^{C} + y = 2$

Этап 3.8.4.6.3.2

Добавим $x e^{C}$ к обеим частям уравнения.

$x y e^{C} + y = 2 + x e^{C}$

Этап 3.8.4.6.3.3

Вынесем множитель $y$ из $x y e^{C} + y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.4.6.3.3.1

Вынесем множитель $y$ из $x y e^{C}$ .

$y (x e^{C}) + y = 2 + x e^{C}$

Этап 3.8.4.6.3.3.2

Возведем $y$ в степень $1$ .

$y (x e^{C}) + y = 2 + x e^{C}$

Этап 3.8.4.6.3.3.3

Вынесем множитель $y$ из $y^{1}$ .

$y (x e^{C}) + y \cdot 1 = 2 + x e^{C}$

Этап 3.8.4.6.3.3.4

Вынесем множитель $y$ из $y (x e^{C}) + y \cdot 1$ .

$y (x e^{C} + 1) = 2 + x e^{C}$

Этап 3.8.4.6.3.4

Разделим каждый член $y (x e^{C} + 1) = 2 + x e^{C}$ на $x e^{C} + 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.4.6.3.4.1

Разделим каждый член $y (x e^{C} + 1) = 2 + x e^{C}$ на $x e^{C} + 1$ .

$\frac{y (x e^{C} + 1)}{x e^{C} + 1} = \frac{2}{x e^{C} + 1} + \frac{x e^{C}}{x e^{C} + 1}$

Этап 3.8.4.6.3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.4.6.3.4.2.1

Сократим общий множитель $x e^{C} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.4.6.3.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (x e^{C} + 1)}{x e^{C} + 1} = \frac{2}{x e^{C} + 1} + \frac{x e^{C}}{x e^{C} + 1}$

Этап 3.8.4.6.3.4.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{2}{x e^{C} + 1} + \frac{x e^{C}}{x e^{C} + 1}$

Этап 3.8.4.6.3.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.4.6.3.4.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{2 + x e^{C}}{x e^{C} + 1}$

Этап 3.8.4.7

Перечислим все решения.

$y = - \frac{2 - x e^{C}}{x e^{C} - 1}$

$y = \frac{2 + x e^{C}}{x e^{C} + 1}$

$y = - \frac{2 - x e^{C}}{x e^{C} - 1}$

$y = \frac{2 + x e^{C}}{x e^{C} + 1}$

$y = - \frac{2 - x e^{C}}{x e^{C} - 1}$

$y = \frac{2 + x e^{C}}{x e^{C} + 1}$

$y = - \frac{2 - x e^{C}}{x e^{C} - 1}$

$y = \frac{2 + x e^{C}}{x e^{C} + 1}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = - \frac{2 - x C}{x C - 1}$

$y = \frac{2 + x C}{x C + 1}$