Математический анализ Примеры

$(x - 2) \frac{d y}{d x} + y = x^{2} - 4$

Этап 1

Проверим, является ли левая часть уравнения результатом дифференцирования члена $(x - 2) y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x - 2$ и $g (x) = y$ .

$(x - 2) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x - 2]$

Этап 1.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$(x - 2) y' + y \frac{d}{d x} [x - 2]$

Этап 1.3

По правилу суммы производная $x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$(x - 2) y' + y (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(x - 2) y' + y (1 + \frac{d}{d x} [- 2])$

Этап 1.5

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$(x - 2) y' + y (1 + 0)$

Этап 1.6

Добавим $1$ и $0$ .

$(x - 2) y' + y \cdot 1$

Этап 1.7

Подставим $\frac{d y}{d x}$ вместо $y'$ .

$(x - 2) \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

Этап 1.8

Изменим порядок $y$ и $1$ .

$(x - 2) \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

Этап 1.9

Умножим $y$ на $1$ .

$(x - 2) \frac{d y}{d x} + y$

Этап 2

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [(x - 2) y] = x^{2} - 4$

Этап 3

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [(x - 2) y] d x = \int x^{2} - 4 d x$

Этап 4

Проинтегрируем левую часть.

$(x - 2) y = \int x^{2} - 4 d x$

Этап 5

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$(x - 2) y = \int x^{2} d x + \int - 4 d x$

Этап 5.2

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$(x - 2) y = \frac{1}{3} x^{3} + C + \int - 4 d x$

Этап 5.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$(x - 2) y = \frac{1}{3} x^{3} + C - 4 x + C$

Этап 5.4

Упростим.

$(x - 2) y = \frac{1}{3} x^{3} - 4 x + C$

Этап 6

Разделим каждый член $(x - 2) y = \frac{1}{3} x^{3} - 4 x + C$ на $x - 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим каждый член $(x - 2) y = \frac{1}{3} x^{3} - 4 x + C$ на $x - 2$ .

$\frac{(x - 2) y}{x - 2} = \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{x - 2} + \frac{- 4 x}{x - 2} + \frac{C}{x - 2}$

Этап 6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Сократим общий множитель $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(x - 2) y}{x - 2} = \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{x - 2} + \frac{- 4 x}{x - 2} + \frac{C}{x - 2}$

Этап 6.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{x - 2} + \frac{- 4 x}{x - 2} + \frac{C}{x - 2}$

Этап 6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$y = \frac{\frac{x^{3}}{3}}{x - 2} + \frac{- 4 x}{x - 2} + \frac{C}{x - 2}$

Этап 6.3.1.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$y = \frac{x^{3}}{3} \cdot \frac{1}{x - 2} + \frac{- 4 x}{x - 2} + \frac{C}{x - 2}$

Этап 6.3.1.3

Умножим $\frac{x^{3}}{3}$ на $\frac{1}{x - 2}$ .

$y = \frac{x^{3}}{3 (x - 2)} + \frac{- 4 x}{x - 2} + \frac{C}{x - 2}$

Этап 6.3.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{x^{3}}{3 (x - 2)} - \frac{4 x}{x - 2} + \frac{C}{x - 2}$

Этап 6.3.2

Чтобы записать $- \frac{4 x}{x - 2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x^{3}}{3 (x - 2)} - \frac{4 x}{x - 2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{C}{x - 2}$

Этап 6.3.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $3 (x - 2)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Умножим $\frac{4 x}{x - 2}$ на $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x^{3}}{3 (x - 2)} - \frac{4 x \cdot 3}{(x - 2) \cdot 3} + \frac{C}{x - 2}$

Этап 6.3.3.2

Изменим порядок множителей в $(x - 2) \cdot 3$ .

$y = \frac{x^{3}}{3 (x - 2)} - \frac{4 x \cdot 3}{3 (x - 2)} + \frac{C}{x - 2}$

Этап 6.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{x^{3} - 4 x \cdot 3}{3 (x - 2)} + \frac{C}{x - 2}$

Этап 6.3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.5.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3} - 4 x \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.5.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$y = \frac{x \cdot x^{2} - 4 x \cdot 3}{3 (x - 2)} + \frac{C}{x - 2}$

Этап 6.3.5.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- 4 x \cdot 3$ .

$y = \frac{x \cdot x^{2} + x (- 4 \cdot 3)}{3 (x - 2)} + \frac{C}{x - 2}$

Этап 6.3.5.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{2} + x (- 4 \cdot 3)$ .

$y = \frac{x (x^{2} - 4 \cdot 3)}{3 (x - 2)} + \frac{C}{x - 2}$

Этап 6.3.5.2

Умножим $- 4$ на $3$ .

$y = \frac{x (x^{2} - 12)}{3 (x - 2)} + \frac{C}{x - 2}$

Этап 6.3.6

Чтобы записать $\frac{C}{x - 2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x (x^{2} - 12)}{3 (x - 2)} + \frac{C}{x - 2} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 6.3.7

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $3 (x - 2)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.7.1

Умножим $\frac{C}{x - 2}$ на $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x (x^{2} - 12)}{3 (x - 2)} + \frac{C \cdot 3}{(x - 2) \cdot 3}$

Этап 6.3.7.2

Изменим порядок множителей в $(x - 2) \cdot 3$ .

$y = \frac{x (x^{2} - 12)}{3 (x - 2)} + \frac{C \cdot 3}{3 (x - 2)}$

Этап 6.3.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{x (x^{2} - 12) + C \cdot 3}{3 (x - 2)}$

Этап 6.3.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{x \cdot x^{2} + x \cdot - 12 + C \cdot 3}{3 (x - 2)}$

Этап 6.3.9.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.9.2.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.9.2.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$y = \frac{x^{1} x^{2} + x \cdot - 12 + C \cdot 3}{3 (x - 2)}$

Этап 6.3.9.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \frac{x^{1 + 2} + x \cdot - 12 + C \cdot 3}{3 (x - 2)}$

Этап 6.3.9.2.2

Добавим $1$ и $2$ .

$y = \frac{x^{3} + x \cdot - 12 + C \cdot 3}{3 (x - 2)}$

Этап 6.3.9.3

Перенесем $- 12$ влево от $x$ .

$y = \frac{x^{3} - 12 \cdot x + C \cdot 3}{3 (x - 2)}$

Этап 6.3.9.4

Перенесем $3$ влево от $C$ .

$y = \frac{x^{3} - 12 x + 3 C}{3 (x - 2)}$