Математический анализ Примеры

$\frac{1}{y} \cdot \frac{d y}{d t} = 6 \cdot \frac{1}{t}$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y} \cdot d y = 6 \cdot \frac{1}{t} d t$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y} d y = \int 6 \frac{1}{t} d t$

Этап 2.2

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 6 \frac{1}{t} d t$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Объединим $6$ и $\frac{1}{t}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{6}{t} d t$

Этап 2.3.2

Поскольку $6$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $6$ из-под знака интеграла.

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int \frac{1}{t} d t$

Этап 2.3.3

Интеграл $\frac{1}{t}$ по $t$ имеет вид $\ln (| t |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 (\ln (| t |) + C_{2})$

Этап 2.3.4

Упростим.

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \ln (| t |) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| y |) = 6 \ln (| t |) + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| y |) - 6 \ln (| t |) = C$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим $\ln (| y |) - 6 \ln (| t |)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Упростим $- 6 \ln (| t |)$ путем переноса $6$ под логарифм.

$\ln (| y |) - \ln ({| t |}^{6}) = C$

Этап 3.2.1.1.2

Уберем знак модуля в ${| t |}^{6}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$\ln (| y |) - \ln (t^{6}) = C$

Этап 3.2.1.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{t^{6}}) = C$

Этап 3.3

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (\frac{| y |}{t^{6}})} = e^{C}$

Этап 3.4

Перепишем $\ln (\frac{| y |}{t^{6}}) = C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y |}{t^{6}}$

Этап 3.5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{| y |}{t^{6}} = e^{C}$ .

$\frac{| y |}{t^{6}} = e^{C}$

Этап 3.5.2

Умножим обе части на $t^{6}$ .

$\frac{| y |}{t^{6}} t^{6} = e^{C} t^{6}$

Этап 3.5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1.1

Сократим общий множитель $t^{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{| y |}{t^{6}} t^{6} = e^{C} t^{6}$

Этап 3.5.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$| y | = e^{C} t^{6}$

Этап 3.5.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.2.1

Изменим порядок множителей в $e^{C} t^{6}$ .

$| y | = t^{6} e^{C}$

Этап 3.5.4

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$y = \pm t^{6} e^{C}$

Этап 4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \pm t^{6} C$

Этап 4.2

Объединим константы с плюсом или минусом.

$y = C t^{6}$