Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{8}{1 + x}$ , $y (0) = 7$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = \frac{8}{1 + x} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int \frac{8}{1 + x} d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int \frac{8}{1 + x} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $8$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $8$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = 8 \int \frac{1}{1 + x} d x$

Этап 2.3.2

Пусть $u = 1 + x$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Пусть $u = 1 + x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Дифференцируем $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Этап 2.3.2.1.2

По правилу суммы производная $1 + x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.2.1.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.2.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 + 1$

Этап 2.3.2.1.5

Добавим $0$ и $1$ .

$1$

Этап 2.3.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$y + C_{1} = 8 \int \frac{1}{u} d u$

Этап 2.3.3

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = 8 (\ln (| u |) + C_{2})$

Этап 2.3.4

Упростим.

$y + C_{1} = 8 \ln (| u |) + C_{2}$

Этап 2.3.5

Заменим все вхождения $u$ на $1 + x$ .

$y + C_{1} = 8 \ln (| 1 + x |) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$y = 8 \ln (| 1 + x |) + C$

Этап 3

Используем начальное условие, чтобы найти значение $C$ , подставив $0$ вместо $x$ и $7$ вместо $y$ в $y = 8 \ln (| 1 + x |) + C$ .

$7 = 8 \ln (| 1 + 0 |) + C$

Этап 4

Решим относительно $C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $8 \ln (| 1 + 0 |) + C = 7$ .

$8 \ln (| 1 + 0 |) + C = 7$

Этап 4.2

Упростим $8 \ln (| 1 + 0 |) + C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $1$ и $0$ .

$8 \ln (| 1 |) + C = 7$

Этап 4.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$8 \ln (1) + C = 7$

Этап 4.2.2.2

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$8 \cdot 0 + C = 7$

Этап 4.2.2.3

Умножим $8$ на $0$ .

$0 + C = 7$

Этап 4.2.3

Добавим $0$ и $C$ .

$C = 7$

Этап 5

Подставим $7$ вместо $C$ в $y = 8 \ln (| 1 + x |) + C$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $7$ вместо $C$ .

$y = 8 \ln (| 1 + x |) + 7$

Этап 5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим $8 \ln (| 1 + x |)$ путем переноса $8$ под логарифм.

$y = \ln ({| 1 + x |}^{8}) + 7$

Этап 5.2.2

Уберем знак модуля в ${| 1 + x |}^{8}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$y = \ln ({(1 + x)}^{8}) + 7$