Математический анализ Примеры

$4 x y \frac{d y}{d x} = x^{2} + 1$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $4 x y \frac{d y}{d x} = x^{2} + 1$ на $4 x y$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Разделим каждый член $4 x y \frac{d y}{d x} = x^{2} + 1$ на $4 x y$ .

$\frac{4 x y \frac{d y}{d x}}{4 x y} = \frac{x^{2}}{4 x y} + \frac{1}{4 x y}$

Этап 1.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x y \frac{d y}{d x}}{4 x y} = \frac{x^{2}}{4 x y} + \frac{1}{4 x y}$

Этап 1.1.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{x^{2}}{4 x y} + \frac{1}{4 x y}$

Этап 1.1.2.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{x^{2}}{4 x y} + \frac{1}{4 x y}$

Этап 1.1.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{x^{2}}{4 x y} + \frac{1}{4 x y}$

Этап 1.1.2.3

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{x^{2}}{4 x y} + \frac{1}{4 x y}$

Этап 1.1.2.3.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{4 x y} + \frac{1}{4 x y}$

Этап 1.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{4 x y} + \frac{1}{4 x y}$

Этап 1.1.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.2.1

Вынесем множитель $x$ из $4 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x (4 y)} + \frac{1}{4 x y}$

Этап 1.1.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x (4 y)} + \frac{1}{4 x y}$

Этап 1.1.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{4 y} + \frac{1}{4 x y}$

Этап 1.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Чтобы записать $\frac{x}{4 y}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{4 y} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{4 x y}$

Этап 1.2.2

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4 y x$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Умножим $\frac{x}{4 y}$ на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{4 y x} + \frac{1}{4 x y}$

Этап 1.2.2.2

Изменим порядок множителей в $4 y x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{4 x y} + \frac{1}{4 x y}$

Этап 1.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x + 1}{4 x y}$

Этап 1.2.4

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{4 x y}$

Этап 1.3

Перегруппируем множители.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{4 x} \cdot \frac{1}{y}$

Этап 1.4

Умножим обе части на $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (\frac{x^{2} + 1}{4 x} \cdot \frac{1}{y})$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Умножим $\frac{x^{2} + 1}{4 x}$ на $\frac{1}{y}$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{2} + 1}{4 x y}$

Этап 1.5.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Вынесем множитель $y$ из $4 x y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{2} + 1}{y (4 x)}$

Этап 1.5.2.2

Сократим общий множитель.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{2} + 1}{y (4 x)}$

Этап 1.5.2.3

Перепишем это выражение.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{4 x}$

Этап 1.6

Перепишем уравнение.

$y d y = \frac{x^{2} + 1}{4 x} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int y d y = \int \frac{x^{2} + 1}{4 x} d x$

Этап 2.2

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x^{2} + 1}{4 x} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{4} \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Этап 2.3.2

Разделим $x^{2} + 1$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

Этап 2.3.2.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x$
	$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$

Этап 2.3.2.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$x^{2}$	+	$0$

Этап 2.3.2.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{2} + 0$ .

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$

Этап 2.3.2.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
						$0$

Этап 2.3.2.6

Вынесем следующий член из исходного делимого в текущее делимое.

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
						$0$	+	$1$

Этап 2.3.2.7

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{4} \int x + \frac{1}{x} d x$

Этап 2.3.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{4} (\int x d x + \int \frac{1}{x} d x)$

Этап 2.3.4

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{4} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int \frac{1}{x} d x)$

Этап 2.3.5

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{4} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \ln (| x |) + C_{3})$

Этап 2.3.6

Упростим.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{4} (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |)) + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{4} (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |)) + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{4} (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |)) + C)$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{4} (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |)) + C)$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{4} (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |)) + C)$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{4} (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |)) + C)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $2 (\frac{1}{4} (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |)) + C)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{1}{4} (\frac{x^{2}}{2} + \ln (| x |)) + C)$

Этап 3.2.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{4} \ln (| x |) + C)$

Этап 3.2.2.1.1.3

Объединим.

$y^{2} = 2 (\frac{1 x^{2}}{4 \cdot 2} + \frac{1}{4} \ln (| x |) + C)$

Этап 3.2.2.1.1.4

Объединим $\frac{1}{4}$ и $\ln (| x |)$ .

$y^{2} = 2 (\frac{1 x^{2}}{4 \cdot 2} + \frac{\ln (| x |)}{4} + C)$

Этап 3.2.2.1.1.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.5.1

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x^{2}}{4 \cdot 2} + \frac{\ln (| x |)}{4} + C)$

Этап 3.2.2.1.1.5.2

Умножим $4$ на $2$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x^{2}}{8} + \frac{\ln (| x |)}{4} + C)$

Этап 3.2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} = 2 \frac{x^{2}}{8} + 2 \frac{\ln (| x |)}{4} + 2 C$

Этап 3.2.2.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.3.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$y^{2} = 2 \frac{x^{2}}{2 (4)} + 2 \frac{\ln (| x |)}{4} + 2 C$

Этап 3.2.2.1.3.1.2

Сократим общий множитель.

$y^{2} = 2 \frac{x^{2}}{2 \cdot 4} + 2 \frac{\ln (| x |)}{4} + 2 C$

Этап 3.2.2.1.3.1.3

Перепишем это выражение.

$y^{2} = \frac{x^{2}}{4} + 2 \frac{\ln (| x |)}{4} + 2 C$

Этап 3.2.2.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$y^{2} = \frac{x^{2}}{4} + 2 \frac{\ln (| x |)}{2 (2)} + 2 C$

Этап 3.2.2.1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$y^{2} = \frac{x^{2}}{4} + 2 \frac{\ln (| x |)}{2 \cdot 2} + 2 C$

Этап 3.2.2.1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$y^{2} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{\ln (| x |)}{2} + 2 C$

Этап 3.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{4} + \frac{\ln (| x |)}{2} + 2 C}$

Этап 3.4

Упростим $\pm \sqrt{\frac{x^{2}}{4} + \frac{\ln (| x |)}{2} + 2 C}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Перепишем $\frac{\ln (| x |)}{2}$ в виде $\frac{1}{2} \ln (| x |)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2} \ln (| x |) + 2 C}$

Этап 3.4.1.2

Упростим $\frac{1}{2} \ln (| x |)$ путем переноса $\frac{1}{2}$ под логарифм.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{4} + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + 2 C}$

Этап 3.4.2

Чтобы записать $\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{4} + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) \cdot \frac{4}{4} + 2 C}$

Этап 3.4.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Объединим $\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})$ и $\frac{4}{4}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{4} + \frac{\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 4}{4} + 2 C}$

Этап 3.4.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 4}{4} + 2 C}$

Этап 3.4.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Умножим $\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1.1

Изменим порядок $\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})$ и $4$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + 4 \cdot \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})}{4} + 2 C}$

Этап 3.4.4.1.2

Упростим $4 \cdot \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})$ путем переноса $4$ под логарифм.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + \ln ({({| x |}^{\frac{1}{2}})}^{4})}{4} + 2 C}$

Этап 3.4.4.2

Перемножим экспоненты в ${({| x |}^{\frac{1}{2}})}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2} \cdot 4})}{4} + 2 C}$

Этап 3.4.4.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2} \cdot (2 (2))})}{4} + 2 C}$

Этап 3.4.4.2.2.2

Сократим общий множитель.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2)})}{4} + 2 C}$

Этап 3.4.4.2.2.3

Перепишем это выражение.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + \ln ({| x |}^{2})}{4} + 2 C}$

Этап 3.4.4.3

Уберем знак модуля в ${| x |}^{2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + \ln (x^{2})}{4} + 2 C}$

Этап 3.4.5

Чтобы записать $2 C$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + \ln (x^{2})}{4} + 2 C \cdot \frac{4}{4}}$

Этап 3.4.6

Объединим $2 C$ и $\frac{4}{4}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + \ln (x^{2})}{4} + \frac{2 C \cdot 4}{4}}$

Этап 3.4.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C \cdot 4}{4}}$

Этап 3.4.8

Умножим $4$ на $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C}{4}}$

Этап 3.4.9

Перепишем $\frac{x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C}{4}$ в виде ${(\frac{1}{2})}^{2} (x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.9.1

Вынесем полную степень $1^{2}$ из $x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C)}{4}}$

Этап 3.4.9.2

Вынесем полную степень $2^{2}$ из $4$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C)}{2^{2} \cdot 1}}$

Этап 3.4.9.3

Перегруппируем дробь $\frac{1^{2} (x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C)}{2^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C)}$

Этап 3.4.10

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C}$

Этап 3.4.11

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C}}{2}$

Этап 3.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \frac{\sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C}}{2}$

Этап 3.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C}}{2}$

Этап 3.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \frac{\sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C}}{2}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{\sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + C}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + C}}{2}$