Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = 4 x + \frac{9 x^{2}}{{(3 x^{3} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = (4 x + \frac{9 x^{2}}{{(3 x^{3} + 1)}^{\frac{3}{2}}}) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int 4 x + \frac{9 x^{2}}{{(3 x^{3} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int 4 x + \frac{9 x^{2}}{{(3 x^{3} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$y + C_{1} = \int 4 x d x + \int \frac{9 x^{2}}{{(3 x^{3} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d x$

Этап 2.3.2

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = 4 \int x d x + \int \frac{9 x^{2}}{{(3 x^{3} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d x$

Этап 2.3.3

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int \frac{9 x^{2}}{{(3 x^{3} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d x$

Этап 2.3.4

Поскольку $9$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $9$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + 9 \int \frac{x^{2}}{{(3 x^{3} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d x$

Этап 2.3.5

Пусть $u = 3 x^{3} + 1$ . Тогда $d u = 9 x^{2} d x$ , следовательно $\frac{1}{9} d u = x^{2} d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Пусть $u = 3 x^{3} + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1.1

Дифференцируем $3 x^{3} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{3} + 1]$

Этап 2.3.5.1.2

По правилу суммы производная $3 x^{3} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.3.5.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{3}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.3.5.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.3.5.1.3.3

Умножим $3$ на $3$ .

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.3.5.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1.4.1

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$9 x^{2} + 0$

Этап 2.3.5.1.4.2

Добавим $9 x^{2}$ и $0$ .

$9 x^{2}$

Этап 2.3.5.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + 9 \int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{9} d u$

Этап 2.3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + 9 \int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{9} d u$

Этап 2.3.6.2

Умножим $\frac{1}{u^{\frac{3}{2}}}$ на $\frac{1}{9}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + 9 \int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}} \cdot 9} d u$

Этап 2.3.6.3

Перенесем $9$ влево от $u^{\frac{3}{2}}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + 9 \int \frac{1}{9 u^{\frac{3}{2}}} d u$

Этап 2.3.7

Поскольку $\frac{1}{9}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{9}$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + 9 (\frac{1}{9} \int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u)$

Этап 2.3.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.8.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.8.1.1

Объединим $\frac{1}{9}$ и $9$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + \frac{9}{9} \int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

Этап 2.3.8.1.2

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.8.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + \frac{9}{9} \int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

Этап 2.3.8.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + 1 \int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

Этап 2.3.8.1.3

Умножим $\int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$ на $1$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + \int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

Этап 2.3.8.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.8.2.1

Вынесем $u^{\frac{3}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + \int {(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d u$

Этап 2.3.8.2.2

Перемножим экспоненты в ${(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.8.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + \int u^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d u$

Этап 2.3.8.2.2.2

Умножим $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.8.2.2.2.1

Объединим $\frac{3}{2}$ и $- 1$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + \int u^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d u$

Этап 2.3.8.2.2.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + \int u^{\frac{- 3}{2}} d u$

Этап 2.3.8.2.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + \int u^{- \frac{3}{2}} d u$

Этап 2.3.9

По правилу степени интеграл $u^{- \frac{3}{2}}$ по $u$ имеет вид $- 2 u^{- \frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 2 u^{- \frac{1}{2}} + C_{3}$

Этап 2.3.10

Упростим.

$y + C_{1} = 2 x^{2} - 2 u^{- \frac{1}{2}} + C_{4}$

Этап 2.3.11

Заменим все вхождения $u$ на $3 x^{3} + 1$ .

$y + C_{1} = 2 x^{2} - 2 {(3 x^{3} + 1)}^{- \frac{1}{2}} + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = 2 x^{2} - 2 {(3 x^{3} + 1)}^{- \frac{1}{2}} + K$