Математический анализ Примеры

$(y^{3} + y + 1) d x + (x^{2} - 3 x y^{2} - x) d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = y^{3} + y + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{3} + y + 1]$

Этап 1.2

По правилу суммы производная $y^{3} + y + 1$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{2} + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{2} + 1 + \frac{d}{d y} [1]$

Этап 1.5

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{2} + 1 + 0$

Этап 1.6

Добавим $3 y^{2} + 1$ и $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{2} + 1$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = x^{2} - 3 x y^{2} - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x y^{2} - x]$

Этап 2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 3 x y^{2} - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 3 y^{2}$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x y^{2}$ по $x$ равна $- 3 y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - 3 y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - 3 y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 2.3.3

Умножим $- 3$ на $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - 3 y^{2} + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - 3 y^{2} - \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - 3 y^{2} - 1 \cdot 1$

Этап 2.4.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - 3 y^{2} - 1$

Этап 2.5

Изменим порядок членов.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 3 y^{2} + 2 x - 1$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $3 y^{2} + 1$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $- 3 y^{2} + 2 x - 1$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$3 y^{2} + 1 = - 3 y^{2} + 2 x - 1$

Этап 3.2

Так как левая часть не равна правой, уравнение не является тождеством.

$3 y^{2} + 1 = - 3 y^{2} + 2 x - 1$ не является тождеством.

Этап 4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $3 y^{2} + 1$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{3 y^{2} + 1 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Этап 4.2

Подставим $- 3 y^{2} + 2 x - 1$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{3 y^{2} + 1 - (- 3 y^{2} + 2 x - 1)}{N}$

Этап 4.3

Подставим $x^{2} - 3 x y^{2} - x$ вместо $N$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $x^{2} - 3 x y^{2} - x$ вместо $N$ .

$\frac{3 y^{2} + 1 - (- 3 y^{2} + 2 x - 1)}{x^{2} - 3 x y^{2} - x}$

Этап 4.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 y^{2} + 1 - (- 3 y^{2}) - (2 x) - - 1}{x^{2} - 3 x y^{2} - x}$

Этап 4.3.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$\frac{3 y^{2} + 1 + 3 y^{2} - (2 x) - - 1}{x^{2} - 3 x y^{2} - x}$

Этап 4.3.2.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{3 y^{2} + 1 + 3 y^{2} - 2 x - - 1}{x^{2} - 3 x y^{2} - x}$

Этап 4.3.2.2.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{3 y^{2} + 1 + 3 y^{2} - 2 x + 1}{x^{2} - 3 x y^{2} - x}$

Этап 4.3.2.3

Добавим $3 y^{2}$ и $3 y^{2}$ .

$\frac{6 y^{2} + 1 - 2 x + 1}{x^{2} - 3 x y^{2} - x}$

Этап 4.3.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{6 y^{2} - 2 x + 2}{x^{2} - 3 x y^{2} - x}$

Этап 4.3.2.5

Вынесем множитель $2$ из $6 y^{2} - 2 x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.5.1

Вынесем множитель $2$ из $6 y^{2}$ .

$\frac{2 (3 y^{2}) - 2 x + 2}{x^{2} - 3 x y^{2} - x}$

Этап 4.3.2.5.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x$ .

$\frac{2 (3 y^{2}) + 2 (- x) + 2}{x^{2} - 3 x y^{2} - x}$

Этап 4.3.2.5.3

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (3 y^{2}) + 2 (- x) + 2 (1)}{x^{2} - 3 x y^{2} - x}$

Этап 4.3.2.5.4

Вынесем множитель $2$ из $2 (3 y^{2}) + 2 (- x)$ .

$\frac{2 (3 y^{2} - x) + 2 (1)}{x^{2} - 3 x y^{2} - x}$

Этап 4.3.2.5.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (3 y^{2} - x) + 2 (1)$ .

$\frac{2 (3 y^{2} - x + 1)}{x^{2} - 3 x y^{2} - x}$

Этап 4.3.3

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} - 3 x y^{2} - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{2 (3 y^{2} - x + 1)}{x \cdot x - 3 x y^{2} - x}$

Этап 4.3.3.2

Вынесем множитель $x$ из $- 3 x y^{2}$ .

$\frac{2 (3 y^{2} - x + 1)}{x \cdot x + x (- 3 y^{2}) - x}$

Этап 4.3.3.3

Вынесем множитель $x$ из $- x$ .

$\frac{2 (3 y^{2} - x + 1)}{x \cdot x + x (- 3 y^{2}) + x \cdot - 1}$

Этап 4.3.3.4

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x (- 3 y^{2})$ .

$\frac{2 (3 y^{2} - x + 1)}{x (x - 3 y^{2}) + x \cdot - 1}$

Этап 4.3.3.5

Вынесем множитель $x$ из $x (x - 3 y^{2}) + x \cdot - 1$ .

$\frac{2 (3 y^{2} - x + 1)}{x (x - 3 y^{2} - 1)}$

Этап 4.3.4

Сократим общий множитель $3 y^{2} - x + 1$ и $x - 3 y^{2} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Вынесем множитель $- 1$ из $3 y^{2}$ .

$\frac{2 (- (- 3 y^{2}) - x + 1)}{x (x - 3 y^{2} - 1)}$

Этап 4.3.4.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$\frac{2 (- (- 3 y^{2}) - (x) + 1)}{x (x - 3 y^{2} - 1)}$

Этап 4.3.4.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (- 3 y^{2}) - (x)$ .

$\frac{2 (- (- 3 y^{2} + x) + 1)}{x (x - 3 y^{2} - 1)}$

Этап 4.3.4.4

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$\frac{2 (- (- 3 y^{2} + x) - 1 (- 1))}{x (x - 3 y^{2} - 1)}$

Этап 4.3.4.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (- 3 y^{2} + x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{2 (- (- 3 y^{2} + x - 1))}{x (x - 3 y^{2} - 1)}$

Этап 4.3.4.6

Перепишем $- (- 3 y^{2} + x - 1)$ в виде $- 1 (- 3 y^{2} + x - 1)$ .

$\frac{2 (- 1 (- 3 y^{2} + x - 1))}{x (x - 3 y^{2} - 1)}$

Этап 4.3.4.7

Изменим порядок членов.

$\frac{2 (- 1 (- 3 y^{2} + x - 1))}{x (- 3 y^{2} + x - 1)}$

Этап 4.3.4.8

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (- 1 (- 3 y^{2} + x - 1))}{x (- 3 y^{2} + x - 1)}$

Этап 4.3.4.9

Перепишем это выражение.

$\frac{2 \cdot (- 1)}{x}$

Этап 4.3.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{- 2}{x}$

Этап 4.3.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2}{x}$

Этап 4.4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

Этап 5

Найдем интеграл $e^{\int - \frac{2}{x} d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

Этап 5.2

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

Этап 5.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

Этап 5.4

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

Этап 5.5

Упростим.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| x |)} + C$

Этап 5.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Упростим $- 2 \ln (| x |)$ путем переноса $- 2$ под логарифм.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 2})} + C$

Этап 5.6.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 2} + C$

Этап 5.6.3

Уберем знак модуля в ${| x |}^{- 2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$μ (x, y) = x^{- 2} + C$

Этап 5.6.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{x^{2}} + C$

Этап 6

Умножим обе стороны $(y^{3} + y + 1) d x + (x^{2} - 3 x y^{2} - x) d y = 0$ на коэффициент интегрирования $\frac{1}{x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $y^{3} + y + 1$ на $\frac{1}{x^{2}}$ .

$(y^{3} + y + 1) \frac{1}{x^{2}} d x + (x^{2} - 3 x y^{2} - x) d y = 0$

Этап 6.2

Умножим $y^{3} + y + 1$ на $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{y^{3} + y + 1}{x^{2}} d x + (x^{2} - 3 x y^{2} - x) d y = 0$

Этап 6.3

Умножим $x^{2} - 3 x y^{2} - x$ на $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{y^{3} + y + 1}{x^{2}} d x + (x^{2} - 3 x y^{2} - x) \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

Этап 6.4

Умножим $x^{2} - 3 x y^{2} - x$ на $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{y^{3} + y + 1}{x^{2}} d x + \frac{x^{2} - 3 x y^{2} - x}{x^{2}} d y = 0$

Этап 6.5

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} - 3 x y^{2} - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{y^{3} + y + 1}{x^{2}} d x + \frac{x \cdot x - 3 x y^{2} - x}{x^{2}} d y = 0$

Этап 6.5.2

Вынесем множитель $x$ из $- 3 x y^{2}$ .

$\frac{y^{3} + y + 1}{x^{2}} d x + \frac{x \cdot x + x (- 3 y^{2}) - x}{x^{2}} d y = 0$

Этап 6.5.3

Вынесем множитель $x$ из $- x$ .

$\frac{y^{3} + y + 1}{x^{2}} d x + \frac{x \cdot x + x (- 3 y^{2}) + x \cdot - 1}{x^{2}} d y = 0$

Этап 6.5.4

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x (- 3 y^{2})$ .

$\frac{y^{3} + y + 1}{x^{2}} d x + \frac{x (x - 3 y^{2}) + x \cdot - 1}{x^{2}} d y = 0$

Этап 6.5.5

Вынесем множитель $x$ из $x (x - 3 y^{2}) + x \cdot - 1$ .

$\frac{y^{3} + y + 1}{x^{2}} d x + \frac{x (x - 3 y^{2} - 1)}{x^{2}} d y = 0$

Этап 6.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{y^{3} + y + 1}{x^{2}} d x + \frac{x (x - 3 y^{2} - 1)}{x \cdot x} d y = 0$

Этап 6.6.2

Сократим общий множитель.

$\frac{y^{3} + y + 1}{x^{2}} d x + \frac{x (x - 3 y^{2} - 1)}{x \cdot x} d y = 0$

Этап 6.6.3

Перепишем это выражение.

$\frac{y^{3} + y + 1}{x^{2}} d x + \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x} d y = 0$

Этап 7

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{y^{3} + y + 1}{x^{2}} d x$

Этап 8

Проинтегрируем $M (x, y) = \frac{y^{3} + y + 1}{x^{2}}$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Поскольку $y^{3} + y + 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $y^{3} + y + 1$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = (y^{3} + y + 1) \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 8.2

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$f (x, y) = (y^{3} + y + 1) \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Этап 8.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x, y) = (y^{3} + y + 1) \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Этап 8.3.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f (x, y) = (y^{3} + y + 1) \int x^{- 2} d x$

Этап 8.4

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$f (x, y) = (y^{3} + y + 1) (- x^{- 1} + C)$

Этап 8.5

Перепишем $(y^{3} + y + 1) (- x^{- 1} + C)$ в виде $(y^{3} + y + 1) (- \frac{1}{x}) + C$ .

$f (x, y) = (y^{3} + y + 1) (- \frac{1}{x}) + C$

Этап 9

Так как интеграл $g (y)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (y)$ .

$f (x, y) = (y^{3} + y + 1) (- \frac{1}{x}) + g (y)$

Этап 10

Зададим $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

Этап 11

Найдем $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Продифференцируем $f$ по $y$ .

$\frac{d}{d y} [(y^{3} + y + 1) (- \frac{1}{x}) + g (y)] = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

Этап 11.2

По правилу суммы производная $(y^{3} + y + 1) (- \frac{1}{x}) + g (y)$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [(y^{3} + y + 1) (- \frac{1}{x})] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [(y^{3} + y + 1) (- \frac{1}{x})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

Этап 11.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [(y^{3} + y + 1) (- \frac{1}{x})]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Поскольку $- \frac{1}{x}$ является константой относительно $y$ , производная $(y^{3} + y + 1) (- \frac{1}{x})$ по $y$ равна $- \frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y^{3} + y + 1]$ .

$- \frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y^{3} + y + 1] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

Этап 11.3.2

По правилу суммы производная $y^{3} + y + 1$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$- \frac{1}{x} (\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

Этап 11.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$- \frac{1}{x} (3 y^{2} + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

Этап 11.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \frac{1}{x} (3 y^{2} + 1 + \frac{d}{d y} [1]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

Этап 11.3.5

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$- \frac{1}{x} (3 y^{2} + 1 + 0) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

Этап 11.3.6

Добавим $3 y^{2} + 1$ и $0$ .

$- \frac{1}{x} (3 y^{2} + 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

Этап 11.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (y)$ равна $\frac{d g}{d y}$ .

$- \frac{1}{x} (3 y^{2} + 1) + \frac{d g}{d y} = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

Этап 11.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{1}{x} (3 y^{2}) - \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{d g}{d y} = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

Этап 11.5.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.2.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- 3 \frac{1}{x} y^{2} - \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{d g}{d y} = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

Этап 11.5.2.2

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{- 3}{x} y^{2} - \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{d g}{d y} = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

Этап 11.5.2.3

Объединим $\frac{- 3}{x}$ и $y^{2}$ .

$\frac{- 3 y^{2}}{x} - \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{d g}{d y} = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

Этап 11.5.2.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3 y^{2}}{x} - \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{d g}{d y} = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

Этап 11.5.2.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{3 y^{2}}{x} - \frac{1}{x} + \frac{d g}{d y} = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

Этап 11.5.3

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d y} - \frac{3 y^{2}}{x} - \frac{1}{x} = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

Этап 12

Решим относительно $\frac{d g}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Решим относительно $\frac{d g}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Перенесем все члены с переменными в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.1

Вычтем $\frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d y} - \frac{3 y^{2}}{x} - \frac{1}{x} - \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x} = 0$

Этап 12.1.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 3 y^{2} - 1 - (x - 3 y^{2} - 1)}{x} = 0$

Этап 12.1.1.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 3 y^{2} - 1 - x - (- 3 y^{2}) - - 1}{x} = 0$

Этап 12.1.1.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.3.2.1

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 3 y^{2} - 1 - x + 3 y^{2} - - 1}{x} = 0$

Этап 12.1.1.3.2.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 3 y^{2} - 1 - x + 3 y^{2} + 1}{x} = 0$

Этап 12.1.1.4

Объединим противоположные члены в $- 3 y^{2} - 1 - x + 3 y^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.4.1

Добавим $- 3 y^{2}$ и $3 y^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 1 - x + 0 + 1}{x} = 0$

Этап 12.1.1.4.2

Добавим $- 1 - x$ и $0$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 1 - x + 1}{x} = 0$

Этап 12.1.1.4.3

Добавим $- 1$ и $1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x + 0}{x} = 0$

Этап 12.1.1.4.4

Добавим $- x$ и $0$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x}{x} = 0$

Этап 12.1.1.5

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x}{x} = 0$

Этап 12.1.1.5.2

Разделим $- 1$ на $1$ .

$\frac{d g}{d y} - 1 = 0$

Этап 12.1.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$\frac{d g}{d y} = 1$

Этап 13

Найдем первообразную $1$ , чтобы найти $g (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d y} = 1$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int d y$

Этап 13.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int d y$

Этап 13.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$g (y) = y + C$

Этап 14

Подставим выражение для $g (y)$ в $f (x, y) = (y^{3} + y + 1) (- \frac{1}{x}) + g (y)$ .

$f (x, y) = (y^{3} + y + 1) (- \frac{1}{x}) + y + C$

Этап 15

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x, y) = y^{3} (- \frac{1}{x}) + y (- \frac{1}{x}) + 1 (- \frac{1}{x}) + y + C$

Этап 15.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f (x, y) = - y^{3} \frac{1}{x} + y (- \frac{1}{x}) + 1 (- \frac{1}{x}) + y + C$

Этап 15.2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f (x, y) = - y^{3} \frac{1}{x} - y \frac{1}{x} + 1 (- \frac{1}{x}) + y + C$

Этап 15.2.3

Умножим $- \frac{1}{x}$ на $1$ .

$f (x, y) = - y^{3} \frac{1}{x} - y \frac{1}{x} - \frac{1}{x} + y + C$

Этап 15.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.3.1

Объединим $\frac{1}{x}$ и $y^{3}$ .

$f (x, y) = - \frac{y^{3}}{x} - y \frac{1}{x} - \frac{1}{x} + y + C$

Этап 15.3.2

Объединим $\frac{1}{x}$ и $y$ .

$f (x, y) = - \frac{y^{3}}{x} - \frac{y}{x} - \frac{1}{x} + y + C$