Математический анализ Примеры

$x y d x + (y^{4} - 3 x^{2}) d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y]$

Этап 1.2

Поскольку $x$ является константой относительно $y$ , производная $x y$ по $y$ равна $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \cdot 1$

Этап 1.4

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = y^{4} - 3 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{4} - 3 x^{2}]$

Этап 2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $y^{4} - 3 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Этап 2.2.2

Поскольку $y^{4}$ является константой относительно $x$ , производная $y^{4}$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x^{2}$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 3 (2 x)$

Этап 2.3.3

Умножим $2$ на $- 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 6 x$

Этап 2.4

Вычтем $6 x$ из $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 6 x$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $x$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $- 6 x$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$x = - 6 x$

Этап 3.2

Так как левая часть не равна правой, уравнение не является тождеством.

$x = - 6 x$ не является тождеством.

Этап 4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $- 6 x$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 6 x - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Этап 4.2

Подставим $x$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 6 x - x}{M}$

Этап 4.3

Подставим $x y$ вместо $M$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $x y$ вместо $M$ .

$\frac{- 6 x - x}{x y}$

Этап 4.3.2

Вычтем $x$ из $- 6 x$ .

$\frac{- 7 x}{x y}$

Этап 4.3.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 7 x}{x y}$

Этап 4.3.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{- 7}{y}$

Этап 4.3.4

Подставим $x y$ вместо $M$ .

$- \frac{7}{y}$

Этап 4.4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{7}{y} d y}$

Этап 5

Найдем интеграл $e^{\int - \frac{7}{y} d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{7}{y} d y}$

Этап 5.2

Поскольку $7$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $7$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- (7 \int \frac{1}{y} d y)}$

Этап 5.3

Умножим $7$ на $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 7 \int \frac{1}{y} d y}$

Этап 5.4

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 7 (\ln (| y |) + C)}$

Этап 5.5

Упростим.

$μ (x, y) = e^{- 7 \ln (| y |)} + C$

Этап 5.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Упростим $- 7 \ln (| y |)$ путем переноса $- 7$ под логарифм.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 7})} + C$

Этап 5.6.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 7} + C$

Этап 5.6.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| y |}^{7}} + C$

Этап 6

Умножим обе стороны $x y d x + (y^{4} - 3 x^{2}) d y = 0$ на коэффициент интегрирования $\frac{1}{y^{7}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $x y$ на $\frac{1}{y^{7}}$ .

$x y \frac{1}{y^{7}} d x + (y^{4} - 3 x^{2}) d y = 0$

Этап 6.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вынесем множитель $y$ из $x y$ .

$y x \frac{1}{y^{7}} d x + (y^{4} - 3 x^{2}) d y = 0$

Этап 6.2.2

Вынесем множитель $y$ из $y^{7}$ .

$y x \frac{1}{y \cdot y^{6}} d x + (y^{4} - 3 x^{2}) d y = 0$

Этап 6.2.3

Сократим общий множитель.

$y x \frac{1}{y \cdot y^{6}} d x + (y^{4} - 3 x^{2}) d y = 0$

Этап 6.2.4

Перепишем это выражение.

$x \frac{1}{y^{6}} d x + (y^{4} - 3 x^{2}) d y = 0$

Этап 6.3

Объединим $x$ и $\frac{1}{y^{6}}$ .

$\frac{x}{y^{6}} d x + (y^{4} - 3 x^{2}) d y = 0$

Этап 6.4

Умножим $y^{4} - 3 x^{2}$ на $\frac{1}{y^{7}}$ .

$\frac{x}{y^{6}} d x + (y^{4} - 3 x^{2}) \frac{1}{y^{7}} d y = 0$

Этап 6.5

Умножим $y^{4} - 3 x^{2}$ на $\frac{1}{y^{7}}$ .

$\frac{x}{y^{6}} d x + \frac{y^{4} - 3 x^{2}}{y^{7}} d y = 0$

Этап 7

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{x}{y^{6}} d x$

Этап 8

Проинтегрируем $M (x, y) = \frac{x}{y^{6}}$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Поскольку $\frac{1}{y^{6}}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{y^{6}}$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = \frac{1}{y^{6}} \int x d x$

Этап 8.2

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y^{6}} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Этап 8.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Перепишем $\frac{1}{y^{6}} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ в виде $\frac{1}{y^{6}} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y^{6}} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

Этап 8.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Умножим $\frac{1}{y^{6}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y^{6} \cdot 2} x^{2} + C$

Этап 8.3.2.2

Перенесем $2$ влево от $y^{6}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2 \cdot y^{6}} x^{2} + C$

Этап 8.3.2.3

Умножим $2$ на $y^{6}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2 y^{6}} x^{2} + C$

Этап 8.3.2.4

Объединим $\frac{1}{2 y^{6}}$ и $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2 y^{6}} + C$

Этап 9

Так как интеграл $g (y)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2 y^{6}} + g (y)$

Этап 10

Зададим $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{y^{4} - 3 x^{2}}{y^{7}}$

Этап 11

Найдем $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Продифференцируем $f$ по $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2 y^{6}} + g (y)] = \frac{y^{4} - 3 x^{2}}{y^{7}}$

Этап 11.2

По правилу суммы производная $\frac{x^{2}}{2 y^{6}} + g (y)$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2 y^{6}}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2 y^{6}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y^{4} - 3 x^{2}}{y^{7}}$

Этап 11.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2 y^{6}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Поскольку $\frac{x^{2}}{2}$ является константой относительно $y$ , производная $\frac{x^{2}}{2 y^{6}}$ по $y$ равна $\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{6}}]$ .

$\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{6}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y^{4} - 3 x^{2}}{y^{7}}$

Этап 11.3.2

Перепишем $\frac{1}{y^{6}}$ в виде ${(y^{6})}^{- 1}$ .

$\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [{(y^{6})}^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y^{4} - 3 x^{2}}{y^{7}}$

Этап 11.3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ имеет вид $f' (g (y)) g' (y)$ , где $f (y) = y^{- 1}$ и $g (y) = y^{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y^{6}$ .

$\frac{x^{2}}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [y^{6}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y^{4} - 3 x^{2}}{y^{7}}$

Этап 11.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$\frac{x^{2}}{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{6}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y^{4} - 3 x^{2}}{y^{7}}$

Этап 11.3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $y^{6}$ .

$\frac{x^{2}}{2} (- {(y^{6})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{6}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y^{4} - 3 x^{2}}{y^{7}}$

Этап 11.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 6$ .

$\frac{x^{2}}{2} (- {(y^{6})}^{- 2} (6 y^{5})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y^{4} - 3 x^{2}}{y^{7}}$

Этап 11.3.5

Перемножим экспоненты в ${(y^{6})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2}}{2} (- y^{6 \cdot - 2} (6 y^{5})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y^{4} - 3 x^{2}}{y^{7}}$

Этап 11.3.5.2

Умножим $6$ на $- 2$ .

$\frac{x^{2}}{2} (- y^{- 12} (6 y^{5})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y^{4} - 3 x^{2}}{y^{7}}$

Этап 11.3.6

Умножим $6$ на $- 1$ .

$\frac{x^{2}}{2} (- 6 y^{- 12} y^{5}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y^{4} - 3 x^{2}}{y^{7}}$

Этап 11.3.7

Умножим $y^{- 12}$ на $y^{5}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.7.1

Перенесем $y^{5}$ .

$\frac{x^{2}}{2} (- 6 (y^{5} y^{- 12})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y^{4} - 3 x^{2}}{y^{7}}$

Этап 11.3.7.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x^{2}}{2} (- 6 y^{5 - 12}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y^{4} - 3 x^{2}}{y^{7}}$

Этап 11.3.7.3

Вычтем $12$ из $5$ .

$\frac{x^{2}}{2} (- 6 y^{- 7}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y^{4} - 3 x^{2}}{y^{7}}$

Этап 11.3.8

Объединим $- 6$ и $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{- 6 x^{2}}{2} y^{- 7} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y^{4} - 3 x^{2}}{y^{7}}$

Этап 11.3.9

Объединим $\frac{- 6 x^{2}}{2}$ и $y^{- 7}$ .

$\frac{- 6 x^{2} y^{- 7}}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y^{4} - 3 x^{2}}{y^{7}}$

Этап 11.3.10

Перенесем $y^{- 7}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 6 x^{2}}{2 y^{7}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y^{4} - 3 x^{2}}{y^{7}}$

Этап 11.3.11

Сократим общий множитель $- 6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.11.1

Вынесем множитель $2$ из $- 6 x^{2}$ .

$\frac{2 (- 3 x^{2})}{2 y^{7}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y^{4} - 3 x^{2}}{y^{7}}$

Этап 11.3.11.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.11.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 y^{7}$ .

$\frac{2 (- 3 x^{2})}{2 (y^{7})} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y^{4} - 3 x^{2}}{y^{7}}$

Этап 11.3.11.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (- 3 x^{2})}{2 y^{7}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y^{4} - 3 x^{2}}{y^{7}}$

Этап 11.3.11.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 3 x^{2}}{y^{7}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y^{4} - 3 x^{2}}{y^{7}}$

Этап 11.3.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3 x^{2}}{y^{7}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y^{4} - 3 x^{2}}{y^{7}}$

Этап 11.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (y)$ равна $\frac{d g}{d y}$ .

$- \frac{3 x^{2}}{y^{7}} + \frac{d g}{d y} = \frac{y^{4} - 3 x^{2}}{y^{7}}$

Этап 11.5

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d y} - \frac{3 x^{2}}{y^{7}} = \frac{y^{4} - 3 x^{2}}{y^{7}}$

Этап 12

Решим относительно $\frac{d g}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Решим относительно $\frac{d g}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Перенесем все члены с переменными в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.1

Вычтем $\frac{y^{4} - 3 x^{2}}{y^{7}}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d y} - \frac{3 x^{2}}{y^{7}} - \frac{y^{4} - 3 x^{2}}{y^{7}} = 0$

Этап 12.1.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 3 x^{2} - (y^{4} - 3 x^{2})}{y^{7}} = 0$

Этап 12.1.1.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 3 x^{2} - y^{4} - (- 3 x^{2})}{y^{7}} = 0$

Этап 12.1.1.3.2

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 3 x^{2} - y^{4} + 3 x^{2}}{y^{7}} = 0$

Этап 12.1.1.4

Объединим противоположные члены в $- 3 x^{2} - y^{4} + 3 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.4.1

Добавим $- 3 x^{2}$ и $3 x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- y^{4} + 0}{y^{7}} = 0$

Этап 12.1.1.4.2

Добавим $- y^{4}$ и $0$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- y^{4}}{y^{7}} = 0$

Этап 12.1.1.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.5.1

Сократим общий множитель $y^{4}$ и $y^{7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.5.1.1

Вынесем множитель $y^{4}$ из $- y^{4}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{4} \cdot - 1}{y^{7}} = 0$

Этап 12.1.1.5.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.5.1.2.1

Вынесем множитель $y^{4}$ из $y^{7}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{4} \cdot - 1}{y^{4} y^{3}} = 0$

Этап 12.1.1.5.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{4} \cdot - 1}{y^{4} y^{3}} = 0$

Этап 12.1.1.5.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 1}{y^{3}} = 0$

Этап 12.1.1.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d g}{d y} - \frac{1}{y^{3}} = 0$

Этап 12.1.2

Добавим $\frac{1}{y^{3}}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{d g}{d y} = \frac{1}{y^{3}}$

Этап 13

Найдем первообразную $\frac{1}{y^{3}}$ , чтобы найти $g (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d y} = \frac{1}{y^{3}}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{1}{y^{3}} d y$

Этап 13.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int \frac{1}{y^{3}} d y$

Этап 13.3

Вынесем $y^{3}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$g (y) = \int {(y^{3})}^{- 1} d y$

Этап 13.4

Перемножим экспоненты в ${(y^{3})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (y) = \int y^{3 \cdot - 1} d y$

Этап 13.4.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$g (y) = \int y^{- 3} d y$

Этап 13.5

По правилу степени интеграл $y^{- 3}$ по $y$ имеет вид $- \frac{1}{2} y^{- 2}$ .

$g (y) = - \frac{1}{2} y^{- 2} + C$

Этап 13.6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.6.1

Перепишем $- \frac{1}{2} y^{- 2} + C$ в виде $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C$ .

$g (y) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C$

Этап 13.6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.6.2.1

Умножим $\frac{1}{y^{2}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = - \frac{1}{y^{2} \cdot 2} + C$

Этап 13.6.2.2

Перенесем $2$ влево от $y^{2}$ .

$g (y) = - \frac{1}{2 \cdot y^{2}} + C$

Этап 13.6.2.3

Умножим $2$ на $y^{2}$ .

$g (y) = - \frac{1}{2 y^{2}} + C$

Этап 14

Подставим выражение для $g (y)$ в $f (x, y) = \frac{x^{2}}{2 y^{6}} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2 y^{6}} - \frac{1}{2 y^{2}} + C$