Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = \sin (x^{2})$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $y$ из $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{x} = \sin (x^{2})$

Этап 1.2

Изменим порядок $y$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = \sin (x^{2})$

Этап 2

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = \frac{1}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Этап 2.2

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$e^{\ln (| x |) + C}$

Этап 2.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{\ln (x)}$

Этап 2.4

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$x$

Этап 3

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член на $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + x (\frac{1}{x} y) = x \sin (x^{2})$

Этап 3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Объединим $\frac{1}{x}$ и $y$ .

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x \sin (x^{2})$

Этап 3.2.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x \sin (x^{2})$

Этап 3.2.2.2

Перепишем это выражение.

$x \frac{d y}{d x} + y = x \sin (x^{2})$

Этап 4

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [x y] = x \sin (x^{2})$

Этап 5

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int x \sin (x^{2}) d x$

Этап 6

Проинтегрируем левую часть.

$x y = \int x \sin (x^{2}) d x$

Этап 7

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Пусть $u = x^{2}$ . Тогда $d u = 2 x d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Пусть $u = x^{2}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.1

Дифференцируем $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 7.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x$

Этап 7.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$x y = \int \sin (u) \frac{1}{2} d u$

Этап 7.2

Объединим $\sin (u)$ и $\frac{1}{2}$ .

$x y = \int \frac{\sin (u)}{2} d u$

Этап 7.3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$x y = \frac{1}{2} \int \sin (u) d u$

Этап 7.4

Интеграл $\sin (u)$ по $u$ имеет вид $- \cos (u)$ .

$x y = \frac{1}{2} (- \cos (u) + C)$

Этап 7.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Упростим.

$x y = \frac{1}{2} (- \cos (u)) + C$

Этап 7.5.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\cos (u)$ .

$x y = - \frac{\cos (u)}{2} + C$

Этап 7.6

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$x y = - \frac{\cos (x^{2})}{2} + C$

Этап 7.7

Изменим порядок членов.

$x y = - \frac{1}{2} \cos (x^{2}) + C$

Этап 8

Разделим каждый член $x y = - \frac{1}{2} \cos (x^{2}) + C$ на $x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим каждый член $x y = - \frac{1}{2} \cos (x^{2}) + C$ на $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{- \frac{1}{2} \cos (x^{2})}{x} + \frac{C}{x}$

Этап 8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x y}{x} = \frac{- \frac{1}{2} \cos (x^{2})}{x} + \frac{C}{x}$

Этап 8.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- \frac{1}{2} \cos (x^{2})}{x} + \frac{C}{x}$

Этап 8.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Объединим $\cos (x^{2})$ и $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{- \frac{\cos (x^{2})}{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Этап 8.3.1.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$y = - \frac{\cos (x^{2})}{2} \cdot \frac{1}{x} + \frac{C}{x}$

Этап 8.3.1.3

Умножим $\frac{1}{x}$ на $\frac{\cos (x^{2})}{2}$ .

$y = - \frac{\cos (x^{2})}{x \cdot 2} + \frac{C}{x}$

Этап 8.3.1.4

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$y = - \frac{\cos (x^{2})}{2 x} + \frac{C}{x}$