Математический анализ Примеры

$y \frac{d y}{d x} - x = 2 y^{2}$

Этап 1

Пусть $v = y^{2}$ . Подставим $v$ вместо $y^{2}$ для всех.

$y \frac{d y}{d x} - x = 2 v$

Этап 2

Найдем $\frac{d v}{d x}$ , дифференцируя $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{d v}{d x} = 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$\frac{d v}{d x} = 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\frac{d v}{d x} = 2 y y'$

Этап 3

Подставим производную обратно в дифференциальное уравнение.

$\frac{1}{2} \frac{d v}{d x} - x = 2 v$

Этап 4

Перепишем дифференциальное уравнение в виде $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $M (x) \frac{d v}{d x} + P (x) v = Q (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вычтем $2 v$ из обеих частей уравнения.

$\frac{1}{2} \frac{d v}{d x} - x - 2 v = 0$

Этап 4.1.2

Добавим $x$ к обеим частям уравнения.

$\frac{1}{2} \frac{d v}{d x} - 2 v = x$

Этап 4.2

Умножим каждый член $\frac{1}{2} \frac{d v}{d x} - 2 v = x$ на $2$ .

$\frac{1}{2} \frac{d v}{d x} \cdot 2 - 2 v \cdot 2 = x \cdot 2$

Этап 4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\frac{d v}{d x}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{2} \cdot 2 - 2 v \cdot 2 = x \cdot 2$

Этап 4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{2} \cdot 2 - 2 v \cdot 2 = x \cdot 2$

Этап 4.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{d v}{d x} - 2 v \cdot 2 = x \cdot 2$

Этап 4.5

Умножим $2$ на $- 2$ .

$\frac{d v}{d x} - 4 v = x \cdot 2$

Этап 4.6

Изменим порядок $x$ и $2$ .

$\frac{d v}{d x} - 4 v = 2 \cdot x$

Этап 5

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int - 4 d x}$

Этап 5.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$e^{- 4 x + C}$

Этап 5.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{- 4 x}$

Этап 6

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $e^{- 4 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим каждый член на $e^{- 4 x}$ .

$e^{- 4 x} \frac{d v}{d x} + e^{- 4 x} (- 4 v) = e^{- 4 x} (2 \cdot x)$

Этап 6.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$e^{- 4 x} \frac{d v}{d x} - 4 e^{- 4 x} v = e^{- 4 x} (2 \cdot x)$

Этап 6.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$e^{- 4 x} \frac{d v}{d x} - 4 e^{- 4 x} v = 2 e^{- 4 x} x$

Этап 6.4

Изменим порядок множителей в $e^{- 4 x} \frac{d v}{d x} - 4 e^{- 4 x} v = 2 e^{- 4 x} x$ .

$e^{- 4 x} \frac{d v}{d x} - 4 v e^{- 4 x} = 2 x e^{- 4 x}$

Этап 7

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [e^{- 4 x} v] = 2 x e^{- 4 x}$

Этап 8

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 4 x} v] d x = \int 2 x e^{- 4 x} d x$

Этап 9

Проинтегрируем левую часть.

$e^{- 4 x} v = \int 2 x e^{- 4 x} d x$

Этап 10

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$e^{- 4 x} v = 2 \int x e^{- 4 x} d x$

Этап 10.2

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = e^{- 4 x}$ .

$e^{- 4 x} v = 2 (x (- \frac{1}{4} e^{- 4 x}) - \int - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x)$

Этап 10.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Объединим $e^{- 4 x}$ и $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 4 x} v = 2 (x (- \frac{e^{- 4 x}}{4}) - \int - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x)$

Этап 10.3.2

Объединим $x$ и $\frac{e^{- 4 x}}{4}$ .

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \int - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x)$

Этап 10.3.3

Объединим $e^{- 4 x}$ и $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \int - \frac{e^{- 4 x}}{4} d x)$

Этап 10.4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - - \int \frac{e^{- 4 x}}{4} d x)$

Этап 10.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + 1 \int \frac{e^{- 4 x}}{4} d x)$

Этап 10.5.2

Умножим $\int \frac{e^{- 4 x}}{4} d x$ на $1$ .

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \int \frac{e^{- 4 x}}{4} d x)$

Этап 10.6

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int e^{- 4 x} d x)$

Этап 10.7

Пусть $u = - 4 x$ . Тогда $d u = - 4 d x$ , следовательно $- \frac{1}{4} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.7.1

Пусть $u = - 4 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.7.1.1

Дифференцируем $- 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$

Этап 10.7.1.2

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 10.7.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 4 \cdot 1$

Этап 10.7.1.4

Умножим $- 4$ на $1$ .

$- 4$

Этап 10.7.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int e^{u} \frac{1}{- 4} d u)$

Этап 10.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.8.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int e^{u} (- \frac{1}{4}) d u)$

Этап 10.8.2

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int - \frac{e^{u}}{4} d u)$

Этап 10.9

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} (- \int \frac{e^{u}}{4} d u))$

Этап 10.10

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} (- (\frac{1}{4} \int e^{u} d u)))$

Этап 10.11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.11.1

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{4 \cdot 4} \int e^{u} d u)$

Этап 10.11.2

Умножим $4$ на $4$ .

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} \int e^{u} d u)$

Этап 10.12

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C))$

Этап 10.13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.13.1

Перепишем $2 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C))$ в виде $2 (- \frac{1}{4} x e^{- 4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$ .

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{1}{4} x e^{- 4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$

Этап 10.13.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.13.2.1

Объединим $x$ и $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{x}{4} e^{- 4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$

Этап 10.13.2.2

Объединим $e^{- 4 x}$ и $\frac{x}{4}$ .

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{e^{- 4 x} x}{4} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$

Этап 10.13.2.3

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{16}$ .

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{e^{- 4 x} x}{4} - \frac{e^{u}}{16}) + C$

Этап 10.14

Заменим все вхождения $u$ на $- 4 x$ .

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{e^{- 4 x} x}{4} - \frac{e^{- 4 x}}{16}) + C$

Этап 10.15

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.15.1

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{- 4 x} v = 2 (- \frac{e^{- 4 x} x}{4}) + 2 (- \frac{e^{- 4 x}}{16}) + C$

Этап 10.15.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.15.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{e^{- 4 x} x}{4}$ в числитель.

$e^{- 4 x} v = 2 \frac{- e^{- 4 x} x}{4} + 2 (- \frac{e^{- 4 x}}{16}) + C$

Этап 10.15.2.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$e^{- 4 x} v = 2 \frac{- e^{- 4 x} x}{2 (2)} + 2 (- \frac{e^{- 4 x}}{16}) + C$

Этап 10.15.2.3

Сократим общий множитель.

$e^{- 4 x} v = 2 \frac{- e^{- 4 x} x}{2 \cdot 2} + 2 (- \frac{e^{- 4 x}}{16}) + C$

Этап 10.15.2.4

Перепишем это выражение.

$e^{- 4 x} v = \frac{- e^{- 4 x} x}{2} + 2 (- \frac{e^{- 4 x}}{16}) + C$

Этап 10.15.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.15.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{e^{- 4 x}}{16}$ в числитель.

$e^{- 4 x} v = \frac{- e^{- 4 x} x}{2} + 2 \frac{- e^{- 4 x}}{16} + C$

Этап 10.15.3.2

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$e^{- 4 x} v = \frac{- e^{- 4 x} x}{2} + 2 \frac{- e^{- 4 x}}{2 (8)} + C$

Этап 10.15.3.3

Сократим общий множитель.

$e^{- 4 x} v = \frac{- e^{- 4 x} x}{2} + 2 \frac{- e^{- 4 x}}{2 \cdot 8} + C$

Этап 10.15.3.4

Перепишем это выражение.

$e^{- 4 x} v = \frac{- e^{- 4 x} x}{2} + \frac{- e^{- 4 x}}{8} + C$

Этап 10.15.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.15.4.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e^{- 4 x} v = - \frac{e^{- 4 x} x}{2} + \frac{- e^{- 4 x}}{8} + C$

Этап 10.15.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e^{- 4 x} v = - \frac{e^{- 4 x} x}{2} - \frac{e^{- 4 x}}{8} + C$

Этап 10.15.5

Изменим порядок множителей в $- \frac{e^{- 4 x} x}{2} - \frac{e^{- 4 x}}{8}$ .

$e^{- 4 x} v = - \frac{x e^{- 4 x}}{2} - \frac{e^{- 4 x}}{8} + C$

Этап 10.16

Изменим порядок членов.

$e^{- 4 x} v = - \frac{1}{2} x e^{- 4 x} - \frac{1}{8} e^{- 4 x} + C$

Этап 11

Решим относительно $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Объединим $x$ и $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 4 x} v = - \frac{x}{2} e^{- 4 x} - \frac{1}{8} e^{- 4 x} + C$

Этап 11.1.2

Объединим $e^{- 4 x}$ и $\frac{x}{2}$ .

$e^{- 4 x} v = - \frac{e^{- 4 x} x}{2} - \frac{1}{8} e^{- 4 x} + C$

Этап 11.1.3

Объединим $e^{- 4 x}$ и $\frac{1}{8}$ .

$e^{- 4 x} v = - \frac{e^{- 4 x} x}{2} - \frac{e^{- 4 x}}{8} + C$

Этап 11.2

Разделим каждый член $e^{- 4 x} v = - \frac{e^{- 4 x} x}{2} - \frac{e^{- 4 x}}{8} + C$ на $e^{- 4 x}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Разделим каждый член $e^{- 4 x} v = - \frac{e^{- 4 x} x}{2} - \frac{e^{- 4 x}}{8} + C$ на $e^{- 4 x}$ .

$\frac{e^{- 4 x} v}{e^{- 4 x}} = \frac{- \frac{e^{- 4 x} x}{2}}{e^{- 4 x}} + \frac{- \frac{e^{- 4 x}}{8}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

Этап 11.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Сократим общий множитель $e^{- 4 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{- 4 x} v}{e^{- 4 x}} = \frac{- \frac{e^{- 4 x} x}{2}}{e^{- 4 x}} + \frac{- \frac{e^{- 4 x}}{8}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

Этап 11.2.2.1.2

Разделим $v$ на $1$ .

$v = \frac{- \frac{e^{- 4 x} x}{2}}{e^{- 4 x}} + \frac{- \frac{e^{- 4 x}}{8}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

Этап 11.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.1.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$v = - \frac{e^{- 4 x} x}{2} \cdot \frac{1}{e^{- 4 x}} + \frac{- \frac{e^{- 4 x}}{8}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

Этап 11.2.3.1.2

Умножим $\frac{1}{e^{- 4 x}}$ на $\frac{e^{- 4 x} x}{2}$ .

$v = - \frac{e^{- 4 x} x}{e^{- 4 x} \cdot 2} + \frac{- \frac{e^{- 4 x}}{8}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

Этап 11.2.3.1.3

Сократим общий множитель $e^{- 4 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.1.3.1

Сократим общий множитель.

$v = - \frac{e^{- 4 x} x}{e^{- 4 x} \cdot 2} + \frac{- \frac{e^{- 4 x}}{8}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

Этап 11.2.3.1.3.2

Перепишем это выражение.

$v = - \frac{x}{2} + \frac{- \frac{e^{- 4 x}}{8}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

Этап 11.2.3.1.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$v = - \frac{x}{2} - \frac{e^{- 4 x}}{8} \cdot \frac{1}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

Этап 11.2.3.1.5

Умножим $\frac{1}{e^{- 4 x}}$ на $\frac{e^{- 4 x}}{8}$ .

$v = - \frac{x}{2} - \frac{e^{- 4 x}}{e^{- 4 x} \cdot 8} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

Этап 11.2.3.1.6

Сократим общий множитель $e^{- 4 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.1.6.1

Сократим общий множитель.

$v = - \frac{x}{2} - \frac{e^{- 4 x}}{e^{- 4 x} \cdot 8} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

Этап 11.2.3.1.6.2

Перепишем это выражение.

$v = - \frac{x}{2} - \frac{1}{8} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

Этап 12

Заменим все вхождения $v$ на $y^{2}$ .

$y^{2} = - \frac{x}{2} - \frac{1}{8} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

Этап 13

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{- \frac{x}{2} - \frac{1}{8} + \frac{C}{e^{- 4 x}}}$

Этап 13.2

Упростим $\pm \sqrt{- \frac{x}{2} - \frac{1}{8} + \frac{C}{e^{- 4 x}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Чтобы записать $- \frac{x}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{x}{2} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{8} + \frac{C}{e^{- 4 x}}}$

Этап 13.2.2

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $8$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.2.1

Умножим $\frac{x}{2}$ на $\frac{4}{4}$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{x \cdot 4}{2 \cdot 4} - \frac{1}{8} + \frac{C}{e^{- 4 x}}}$

Этап 13.2.2.2

Умножим $2$ на $4$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{x \cdot 4}{8} - \frac{1}{8} + \frac{C}{e^{- 4 x}}}$

Этап 13.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \pm \sqrt{\frac{- x \cdot 4 - 1}{8} + \frac{C}{e^{- 4 x}}}$

Этап 13.2.4

Умножим $4$ на $- 1$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{- 4 x - 1}{8} + \frac{C}{e^{- 4 x}}}$

Этап 13.2.5

Чтобы записать $\frac{- 4 x - 1}{8}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{e^{- 4 x}}{e^{- 4 x}}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{- 4 x - 1}{8} \cdot \frac{e^{- 4 x}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}}$

Этап 13.2.6

Чтобы записать $\frac{C}{e^{- 4 x}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{8}{8}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{- 4 x - 1}{8} \cdot \frac{e^{- 4 x}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}} \cdot \frac{8}{8}}$

Этап 13.2.7

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $8 e^{- 4 x}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.7.1

Умножим $\frac{- 4 x - 1}{8}$ на $\frac{e^{- 4 x}}{e^{- 4 x}}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{(- 4 x - 1) e^{- 4 x}}{8 e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}} \cdot \frac{8}{8}}$

Этап 13.2.7.2

Умножим $\frac{C}{e^{- 4 x}}$ на $\frac{8}{8}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{(- 4 x - 1) e^{- 4 x}}{8 e^{- 4 x}} + \frac{C \cdot 8}{e^{- 4 x} \cdot 8}}$

Этап 13.2.7.3

Изменим порядок множителей в $e^{- 4 x} \cdot 8$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{(- 4 x - 1) e^{- 4 x}}{8 e^{- 4 x}} + \frac{C \cdot 8}{8 e^{- 4 x}}}$

Этап 13.2.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \pm \sqrt{\frac{(- 4 x - 1) e^{- 4 x} + C \cdot 8}{8 e^{- 4 x}}}$

Этап 13.2.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \pm \sqrt{\frac{- 4 x e^{- 4 x} - 1 e^{- 4 x} + C \cdot 8}{8 e^{- 4 x}}}$

Этап 13.2.9.2

Перепишем $- 1 e^{- 4 x}$ в виде $- e^{- 4 x}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + C \cdot 8}{8 e^{- 4 x}}}$

Этап 13.2.9.3

Перенесем $8$ влево от $C$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C}{8 e^{- 4 x}}}$

Этап 13.2.10

Перепишем $\frac{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C}{8 e^{- 4 x}}$ в виде ${(\frac{1}{2 e^{- 2 x}})}^{2} \frac{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.10.1

Вынесем полную степень $1^{2}$ из $- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C)}{8 e^{- 4 x}}}$

Этап 13.2.10.2

Вынесем полную степень ${(2 e^{- 2 x})}^{2}$ из $8 e^{- 4 x}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C)}{{(2 e^{- 2 x})}^{2} \cdot 2}}$

Этап 13.2.10.3

Перегруппируем дробь $\frac{1^{2} (- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C)}{{(2 e^{- 2 x})}^{2} \cdot 2}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2 e^{- 2 x}})}^{2} \frac{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C}{2}}$

Этап 13.2.11

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \pm \frac{1}{2 e^{- 2 x}} \sqrt{\frac{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C}{2}}$

Этап 13.2.12

Перепишем $\sqrt{\frac{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C}{2}}$ в виде $\frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{1}{2 e^{- 2 x}} \cdot \frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C}}{\sqrt{2}}$

Этап 13.2.13

Объединим.

$y = \pm \frac{1 \sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C}}{2 e^{- 2 x} \sqrt{2}}$

Этап 13.2.14

Умножим $\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C}$ на $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C}}{2 e^{- 2 x} \sqrt{2}}$

Этап 13.2.15

Умножим $\frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C}}{2 e^{- 2 x} \sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C}}{2 e^{- 2 x} \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Этап 13.2.16

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.16.1

Умножим $\frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C}}{2 e^{- 2 x} \sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C} \sqrt{2}}{2 e^{- 2 x} \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 13.2.16.2

Перенесем $\sqrt{2}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C} \sqrt{2}}{2 e^{- 2 x} (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Этап 13.2.16.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C} \sqrt{2}}{2 e^{- 2 x} ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

Этап 13.2.16.4

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C} \sqrt{2}}{2 e^{- 2 x} ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

Этап 13.2.16.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \pm \frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C} \sqrt{2}}{2 e^{- 2 x} {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 13.2.16.6

Добавим $1$ и $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C} \sqrt{2}}{2 e^{- 2 x} {\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 13.2.16.7

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.16.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C} \sqrt{2}}{2 e^{- 2 x} {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 13.2.16.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C} \sqrt{2}}{2 e^{- 2 x} \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 13.2.16.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C} \sqrt{2}}{2 e^{- 2 x} \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 13.2.16.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.16.7.4.1

Сократим общий множитель.

$y = \pm \frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C} \sqrt{2}}{2 e^{- 2 x} \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 13.2.16.7.4.2

Перепишем это выражение.

$y = \pm \frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C} \sqrt{2}}{2 e^{- 2 x} \cdot 2^{1}}$

Этап 13.2.16.7.5

Найдем экспоненту.

$y = \pm \frac{\sqrt{- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C} \sqrt{2}}{2 e^{- 2 x} \cdot 2}$

Этап 13.2.17

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$y = \pm \frac{\sqrt{(- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C) \cdot 2}}{2 e^{- 2 x} \cdot 2}$

Этап 13.2.18

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.18.1

Умножим $2$ на $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{(- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C) \cdot 2}}{4 e^{- 2 x}}$

Этап 13.2.18.2

Изменим порядок множителей в $\pm \frac{\sqrt{(- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C) \cdot 2}}{4 e^{- 2 x}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C)}}{4 e^{- 2 x}}$

Этап 13.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \frac{\sqrt{2 (- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C)}}{4 e^{- 2 x}}$

Этап 13.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C)}}{4 e^{- 2 x}}$

Этап 13.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \frac{\sqrt{2 (- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C)}}{4 e^{- 2 x}}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C)}}{4 e^{- 2 x}}$

$y = \frac{\sqrt{2 (- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C)}}{4 e^{- 2 x}}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C)}}{4 e^{- 2 x}}$

$y = \frac{\sqrt{2 (- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C)}}{4 e^{- 2 x}}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + 8 C)}}{4 e^{- 2 x}}$

Этап 14

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{\sqrt{2 (- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + C)}}{4 e^{- 2 x}}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 4 x e^{- 4 x} - e^{- 4 x} + C)}}{4 e^{- 2 x}}$