Математический анализ Примеры

$x e^{x^{2} + y} d x = y d y$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде, подходящем для применения метода решения уравнения в полных дифференциалах.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $y d y$ из обеих частей уравнения.

$x e^{x^{2} + y} d x - y d y = 0$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = x e^{x^{2} + y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x e^{x^{2} + y}]$

Этап 2.2

Поскольку $x$ является константой относительно $y$ , производная $x e^{x^{2} + y}$ по $y$ равна $x \frac{d}{d y} [e^{x^{2} + y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [e^{x^{2} + y}]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ имеет вид $f' (g (y)) g' (y)$ , где $f (y) = e^{y}$ и $g (y) = x^{2} + y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} + y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [x^{2} + y])$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (e^{u} \frac{d}{d y} [x^{2} + y])$

Этап 2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (e^{x^{2} + y} \frac{d}{d y} [x^{2} + y])$

Этап 2.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

По правилу суммы производная $x^{2} + y$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (e^{x^{2} + y} (\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y]))$

Этап 2.4.2

Поскольку $x^{2}$ является константой относительно $y$ , производная $x^{2}$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (e^{x^{2} + y} (0 + \frac{d}{d y} [y]))$

Этап 2.4.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (e^{x^{2} + y} \frac{d}{d y} [y])$

Этап 2.4.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (e^{x^{2} + y} \cdot 1)$

Этап 2.4.5

Умножим $e^{x^{2} + y}$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x e^{x^{2} + y}$

Этап 3

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- y]$

Этап 3.2

Поскольку $- y$ является константой относительно $x$ , производная $- y$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

Этап 4

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $x e^{x^{2} + y}$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $0$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$x e^{x^{2} + y} = 0$

Этап 4.2

Так как левая часть не равна правой, уравнение не является тождеством.

$x e^{x^{2} + y} = 0$ не является тождеством.

Этап 5

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $0$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{0 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Этап 5.2

Подставим $x e^{x^{2} + y}$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{0 - (x e^{x^{2} + y})}{M}$

Этап 5.3

Подставим $x e^{x^{2} + y}$ вместо $M$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Подставим $x e^{x^{2} + y}$ вместо $M$ .

$\frac{0 - (x e^{x^{2} + y})}{x e^{x^{2} + y}}$

Этап 5.3.2

Вычтем $x e^{x^{2} + y}$ из $0$ .

$\frac{- x e^{x^{2} + y}}{x e^{x^{2} + y}}$

Этап 5.3.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- x e^{x^{2} + y}}{x e^{x^{2} + y}}$

Этап 5.3.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{- e^{x^{2} + y}}{e^{x^{2} + y}}$

Этап 5.3.4

Подставим $x e^{x^{2} + y}$ вместо $M$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- e^{x^{2} + y}}{e^{x^{2} + y}}$

Этап 5.3.4.2

Разделим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 5.4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - 1 d y}$

Этап 6

Найдем интеграл $e^{\int - 1 d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$μ (x, y) = e^{- y + C}$

Этап 6.2

Упростим.

$μ (x, y) = e^{- y} + C$

Этап 7

Умножим обе стороны $x e^{x^{2} + y} d x - y d y = 0$ на коэффициент интегрирования $e^{- y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $x e^{x^{2} + y}$ на $e^{- y}$ .

$x e^{x^{2} + y} e^{- y} d x - y d y = 0$

Этап 7.2

Умножим $e^{x^{2} + y}$ на $e^{- y}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Перенесем $e^{- y}$ .

$x (e^{- y} e^{x^{2} + y}) d x - y d y = 0$

Этап 7.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x e^{- y + x^{2} + y} d x - y d y = 0$

Этап 7.2.3

Объединим противоположные члены в $- y + x^{2} + y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Добавим $- y$ и $y$ .

$x e^{x^{2} + 0} d x - y d y = 0$

Этап 7.2.3.2

Добавим $x^{2}$ и $0$ .

$x e^{x^{2}} d x - y d y = 0$

Этап 7.3

Умножим $- y$ на $e^{- y}$ .

$x e^{x^{2}} d x - y e^{- y} d y = 0$

Этап 8

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x e^{x^{2}} d x$

Этап 9

Проинтегрируем $M (x, y) = x e^{x^{2}}$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Пусть $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Тогда $d u_{2} = 2 x e^{x^{2}} d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{2} = x e^{x^{2}} d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Пусть $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1.1

Дифференцируем $e^{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

Этап 9.1.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 9.1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 9.1.1.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x^{2}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 9.1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$e^{x^{2}} (2 x)$

Этап 9.1.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1.4.1

Изменим порядок множителей в $e^{x^{2}} (2 x)$ .

$2 e^{x^{2}} x$

Этап 9.1.1.4.2

Изменим порядок множителей в $2 e^{x^{2}} x$ .

$2 x e^{x^{2}}$

Этап 9.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$f (x, y) = \int \frac{1}{2} d u_{2}$

Этап 9.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$f (x, y) = \frac{1}{2} u_{2} + C$

Этап 9.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $e^{x^{2}}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C$

Этап 10

Так как интеграл $g (y)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + g (y)$

Этап 11

Зададим $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = - y e^{- y}$

Этап 12

Найдем $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Продифференцируем $f$ по $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} e^{x^{2}} + g (y)] = - y e^{- y}$

Этап 12.2

По правилу суммы производная $\frac{1}{2} e^{x^{2}} + g (y)$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - y e^{- y}$

Этап 12.3

Поскольку $\frac{1}{2} e^{x^{2}}$ является константой относительно $y$ , производная $\frac{1}{2} e^{x^{2}}$ относительно $y$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = - y e^{- y}$

Этап 12.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (y)$ равна $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + \frac{d g}{d y} = - y e^{- y}$

Этап 12.5

Добавим $0$ и $\frac{d g}{d y}$ .

$\frac{d g}{d y} = - y e^{- y}$

Этап 13

Найдем первообразную $- y e^{- y}$ , чтобы найти $g (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d y} = - y e^{- y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - y e^{- y} d y$

Этап 13.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - y e^{- y} d y$

Этап 13.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$g (y) = - \int y e^{- y} d y$

Этап 13.4

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = y$ и $d v = e^{- y}$ .

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - \int - e^{- y} d y)$

Этап 13.5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - - \int e^{- y} d y)$

Этап 13.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.6.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$g (y) = - (y (- e^{- y}) + 1 \int e^{- y} d y)$

Этап 13.6.2

Умножим $\int e^{- y} d y$ на $1$ .

$g (y) = - (y (- e^{- y}) + \int e^{- y} d y)$

Этап 13.7

Пусть $u = - y$ . Тогда $d u = - d y$ , следовательно $- d u = d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.7.1

Пусть $u = - y$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.7.1.1

Дифференцируем $- y$ .

$\frac{d}{d y} [- y]$

Этап 13.7.1.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $y$ , производная $- y$ по $y$ равна $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{d}{d y} [y]$

Этап 13.7.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Этап 13.7.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 13.7.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$g (y) = - (y (- e^{- y}) + \int - e^{u} d u)$

Этап 13.8

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - \int e^{u} d u)$

Этап 13.9

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - (e^{u} + C))$

Этап 13.10

Перепишем $- (y (- e^{- y}) - (e^{u} + C))$ в виде $- (- y e^{- y} - e^{u}) + C$ .

$g (y) = - (- y e^{- y} - e^{u}) + C$

Этап 13.11

Заменим все вхождения $u$ на $- y$ .

$g (y) = - (- y e^{- y} - e^{- y}) + C$

Этап 13.12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.12.1

Применим свойство дистрибутивности.

$g (y) = - (- y e^{- y}) - - e^{- y} + C$

Этап 13.12.2

Умножим $- (- y e^{- y})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.12.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$g (y) = 1 (y e^{- y}) - - e^{- y} + C$

Этап 13.12.2.2

Умножим $y$ на $1$ .

$g (y) = y e^{- y} - - e^{- y} + C$

Этап 13.12.3

Умножим $- - e^{- y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.12.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$g (y) = y e^{- y} + 1 e^{- y} + C$

Этап 13.12.3.2

Умножим $e^{- y}$ на $1$ .

$g (y) = y e^{- y} + e^{- y} + C$

Этап 14

Подставим выражение для $g (y)$ в $f (x, y) = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + y e^{- y} + e^{- y} + C$

Этап 15

Объединим $\frac{1}{2}$ и $e^{x^{2}}$ .

$f (x, y) = \frac{e^{x^{2}}}{2} + y e^{- y} + e^{- y} + C$