Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d t} = \sqrt{t}$ , $y (1) = 1$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = \sqrt{t} d t$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int \sqrt{t} d t$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int \sqrt{t} d t$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{t}$ в виде $t^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \int t^{\frac{1}{2}} d t$

Этап 2.3.2

По правилу степени интеграл $t^{\frac{1}{2}}$ по $t$ имеет вид $\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + K$

Этап 3

Используем начальное условие, чтобы найти значение $K$ , подставив $1$ вместо $t$ и $1$ вместо $y$ в $y = \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + K$ .

$1 = \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + K$

Этап 4

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + K = 1$ .

$\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + K = 1$

Этап 4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{2}{3} \cdot 1 + K = 1$

Этап 4.2.2

Умножим $\frac{2}{3}$ на $1$ .

$\frac{2}{3} + K = 1$

Этап 4.3

Перенесем все члены без $K$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вычтем $\frac{2}{3}$ из обеих частей уравнения.

$K = 1 - \frac{2}{3}$

Этап 4.3.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$K = \frac{3}{3} - \frac{2}{3}$

Этап 4.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$K = \frac{3 - 2}{3}$

Этап 4.3.4

Вычтем $2$ из $3$ .

$K = \frac{1}{3}$

Этап 5

Подставим $\frac{1}{3}$ вместо $K$ в $y = \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $\frac{1}{3}$ вместо $K$ .

$y = \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{3}$

Этап 5.2

Объединим $\frac{2}{3}$ и $t^{\frac{3}{2}}$ .

$y = \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{1}{3}$