Математический анализ Примеры

$(x - 2) \frac{d y}{d x} = y + 2 {(x - 2)}^{3}$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $y$ из обеих частей уравнения.

$(x - 2) \frac{d y}{d x} - y = 2 {(x - 2)}^{3}$

Этап 1.2

Разделим каждый член $(x - 2) \frac{d y}{d x} - y = 2 {(x - 2)}^{3}$ на $x - 2$ .

$\frac{(x - 2) \frac{d y}{d x}}{x - 2} + \frac{- y}{x - 2} = \frac{2 {(x - 2)}^{3}}{x - 2}$

Этап 1.3

Сократим общий множитель $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(x - 2) \frac{d y}{d x}}{x - 2} + \frac{- y}{x - 2} = \frac{2 {(x - 2)}^{3}}{x - 2}$

Этап 1.3.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x - 2} = \frac{2 {(x - 2)}^{3}}{x - 2}$

Этап 1.4

Сократим общий множитель ${(x - 2)}^{3}$ и $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Вынесем множитель $x - 2$ из $2 {(x - 2)}^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x - 2} = \frac{(x - 2) (2 {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

Этап 1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Умножим на $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x - 2} = \frac{(x - 2) (2 {(x - 2)}^{2})}{(x - 2) \cdot 1}$

Этап 1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x - 2} = \frac{(x - 2) (2 {(x - 2)}^{2})}{(x - 2) \cdot 1}$

Этап 1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x - 2} = \frac{2 {(x - 2)}^{2}}{1}$

Этап 1.4.2.4

Разделим $2 {(x - 2)}^{2}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x - 2} = 2 {(x - 2)}^{2}$

Этап 1.5

Вынесем множитель $y$ из $\frac{- y}{x - 2}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 1}{x - 2} = 2 {(x - 2)}^{2}$

Этап 1.6

Изменим порядок $y$ и $\frac{- 1}{x - 2}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 1}{x - 2} y = 2 {(x - 2)}^{2}$

Этап 2

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = \frac{- 1}{x - 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int \frac{- 1}{x - 2} d x}$

Этап 2.2

Проинтегрируем $\frac{- 1}{x - 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e^{\int - \frac{1}{x - 2} d x}$

Этап 2.2.2

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$e^{- \int \frac{1}{x - 2} d x}$

Этап 2.2.3

Пусть $u = x - 2$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Пусть $u = x - 2$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.1

Дифференцируем $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Этап 2.2.3.1.2

По правилу суммы производная $x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 2.2.3.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 2.2.3.1.4

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 2.2.3.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 2.2.3.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$e^{- \int \frac{1}{u} d u}$

Этап 2.2.4

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$e^{- (\ln (| u |) + C)}$

Этап 2.2.5

Упростим.

$e^{- \ln (| u |) + C}$

Этап 2.2.6

Заменим все вхождения $u$ на $x - 2$ .

$e^{- \ln (| x - 2 |) + C}$

Этап 2.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{- \ln (x - 2)}$

Этап 2.4

Применим правило степени для логарифма.

$e^{\ln ({(x - 2)}^{- 1})}$

Этап 2.5

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

${(x - 2)}^{- 1}$

Этап 2.6

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x - 2}$

Этап 3

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $\frac{1}{x - 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член на $\frac{1}{x - 2}$ .

$\frac{1}{x - 2} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x - 2} (\frac{- 1}{x - 2} y) = \frac{1}{x - 2} (2 {(x - 2)}^{2})$

Этап 3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Объединим $\frac{1}{x - 2}$ и $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 2} + \frac{1}{x - 2} (\frac{- 1}{x - 2} y) = \frac{1}{x - 2} (2 {(x - 2)}^{2})$

Этап 3.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 2} + \frac{1}{x - 2} (- \frac{1}{x - 2} y) = \frac{1}{x - 2} (2 {(x - 2)}^{2})$

Этап 3.2.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 2} - \frac{1}{x - 2} (\frac{1}{x - 2} y) = \frac{1}{x - 2} (2 {(x - 2)}^{2})$

Этап 3.2.4

Объединим $\frac{1}{x - 2}$ и $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 2} - \frac{1}{x - 2} \cdot \frac{y}{x - 2} = \frac{1}{x - 2} (2 {(x - 2)}^{2})$

Этап 3.2.5

Умножим $- \frac{1}{x - 2} \cdot \frac{y}{x - 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Умножим $\frac{y}{x - 2}$ на $\frac{1}{x - 2}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 2} - \frac{y}{(x - 2) (x - 2)} = \frac{1}{x - 2} (2 {(x - 2)}^{2})$

Этап 3.2.5.2

Возведем $x - 2$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 2} - \frac{y}{{(x - 2)}^{1} (x - 2)} = \frac{1}{x - 2} (2 {(x - 2)}^{2})$

Этап 3.2.5.3

Возведем $x - 2$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 2} - \frac{y}{{(x - 2)}^{1} {(x - 2)}^{1}} = \frac{1}{x - 2} (2 {(x - 2)}^{2})$

Этап 3.2.5.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 2} - \frac{y}{{(x - 2)}^{1 + 1}} = \frac{1}{x - 2} (2 {(x - 2)}^{2})$

Этап 3.2.5.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 2} - \frac{y}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{1}{x - 2} (2 {(x - 2)}^{2})$

Этап 3.3

Чтобы записать $\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{y}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{1}{x - 2} (2 {(x - 2)}^{2})$

Этап 3.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем ${(x - 2)}^{2}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Умножим $\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 2}$ на $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (x - 2)}{(x - 2) (x - 2)} - \frac{y}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{1}{x - 2} (2 {(x - 2)}^{2})$

Этап 3.4.2

Возведем $x - 2$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{1} (x - 2)} - \frac{y}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{1}{x - 2} (2 {(x - 2)}^{2})$

Этап 3.4.3

Возведем $x - 2$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{1} {(x - 2)}^{1}} - \frac{y}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{1}{x - 2} (2 {(x - 2)}^{2})$

Этап 3.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{1 + 1}} - \frac{y}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{1}{x - 2} (2 {(x - 2)}^{2})$

Этап 3.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}} - \frac{y}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{1}{x - 2} (2 {(x - 2)}^{2})$

Этап 3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x - 2) - y}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{1}{x - 2} (2 {(x - 2)}^{2})$

Этап 3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} \cdot - 2 - y}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{1}{x - 2} (2 {(x - 2)}^{2})$

Этап 3.6.2

Перенесем $- 2$ влево от $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} x - 2 \frac{d y}{d x} - y}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{1}{x - 2} (2 {(x - 2)}^{2})$

Этап 3.7

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{\frac{d y}{d x} x - 2 \frac{d y}{d x} - y}{{(x - 2)}^{2}} = 2 \frac{1}{x - 2} {(x - 2)}^{2}$

Этап 3.8

Объединим $2$ и $\frac{1}{x - 2}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} x - 2 \frac{d y}{d x} - y}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{2}{x - 2} {(x - 2)}^{2}$

Этап 3.9

Сократим общий множитель $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Вынесем множитель $x - 2$ из ${(x - 2)}^{2}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} x - 2 \frac{d y}{d x} - y}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{2}{x - 2} ((x - 2) (x - 2))$

Этап 3.9.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{d y}{d x} x - 2 \frac{d y}{d x} - y}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{2}{x - 2} ((x - 2) (x - 2))$

Этап 3.9.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{d y}{d x} x - 2 \frac{d y}{d x} - y}{{(x - 2)}^{2}} = 2 (x - 2)$

Этап 3.10

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{d y}{d x} x - 2 \frac{d y}{d x} - y}{{(x - 2)}^{2}} = 2 x + 2 \cdot - 2$

Этап 3.11

Умножим $2$ на $- 2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} x - 2 \frac{d y}{d x} - y}{{(x - 2)}^{2}} = 2 x - 4$

Этап 3.12

Изменим порядок множителей в $\frac{\frac{d y}{d x} x - 2 \frac{d y}{d x} - y}{{(x - 2)}^{2}} = 2 x - 4$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x} - 2 \frac{d y}{d x} - y}{{(x - 2)}^{2}} = 2 x - 4$

Этап 4

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 2} y] = 2 x - 4$

Этап 5

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 2} y] d x = \int 2 x - 4 d x$

Этап 6

Проинтегрируем левую часть.

$\frac{1}{x - 2} y = \int 2 x - 4 d x$

Этап 7

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{x - 2} y = \int 2 x d x + \int - 4 d x$

Этап 7.2

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{x - 2} y = 2 \int x d x + \int - 4 d x$

Этап 7.3

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{x - 2} y = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 4 d x$

Этап 7.4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{x - 2} y = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 4 x + C$

Этап 7.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{1}{x - 2} y = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 4 x + C$

Этап 7.5.2

Упростим.

$\frac{1}{x - 2} y = x^{2} - 4 x + C$

Этап 8

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $\frac{1}{x - 2}$ и $y$ .

$\frac{y}{x - 2} = x^{2} - 4 x + C$

Этап 8.2

Умножим обе части на $x - 2$ .

$\frac{y}{x - 2} (x - 2) = (x^{2} - 4 x + C) (x - 2)$

Этап 8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Сократим общий множитель $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y}{x - 2} (x - 2) = (x^{2} - 4 x + C) (x - 2)$

Этап 8.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y = (x^{2} - 4 x + C) (x - 2)$

Этап 8.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Упростим $(x^{2} - 4 x + C) (x - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1.1

Развернем $(x^{2} - 4 x + C) (x - 2)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$y = x^{2} x + x^{2} \cdot - 2 - 4 x \cdot x - 4 x \cdot - 2 + C x + C \cdot - 2$

Этап 8.3.2.1.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1.2.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1.2.1.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1.2.1.1.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$y = x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot - 2 - 4 x \cdot x - 4 x \cdot - 2 + C x + C \cdot - 2$

Этап 8.3.2.1.2.1.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 2 - 4 x \cdot x - 4 x \cdot - 2 + C x + C \cdot - 2$

Этап 8.3.2.1.2.1.1.2

Добавим $2$ и $1$ .

$y = x^{3} + x^{2} \cdot - 2 - 4 x \cdot x - 4 x \cdot - 2 + C x + C \cdot - 2$

Этап 8.3.2.1.2.1.2

Перенесем $- 2$ влево от $x^{2}$ .

$y = x^{3} - 2 \cdot x^{2} - 4 x \cdot x - 4 x \cdot - 2 + C x + C \cdot - 2$

Этап 8.3.2.1.2.1.3

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1.2.1.3.1

Перенесем $x$ .

$y = x^{3} - 2 x^{2} - 4 (x \cdot x) - 4 x \cdot - 2 + C x + C \cdot - 2$

Этап 8.3.2.1.2.1.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

$y = x^{3} - 2 x^{2} - 4 x^{2} - 4 x \cdot - 2 + C x + C \cdot - 2$

Этап 8.3.2.1.2.1.4

Умножим $- 2$ на $- 4$ .

$y = x^{3} - 2 x^{2} - 4 x^{2} + 8 x + C x + C \cdot - 2$

Этап 8.3.2.1.2.1.5

Перенесем $- 2$ влево от $C$ .

$y = x^{3} - 2 x^{2} - 4 x^{2} + 8 x + C x - 2 C$

Этап 8.3.2.1.2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1.2.2.1

Вычтем $4 x^{2}$ из $- 2 x^{2}$ .

$y = x^{3} - 6 x^{2} + 8 x + C x - 2 C$

Этап 8.3.2.1.2.2.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1.2.2.2.1

Перенесем $8 x$ .

$y = x^{3} - 6 x^{2} + C x - 2 C + 8 x$

Этап 8.3.2.1.2.2.2.2

Перенесем $- 6 x^{2}$ .

$y = x^{3} + C x - 6 x^{2} - 2 C + 8 x$