Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = - 3 x^{2} e^{- x^{3}}$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = - 3 x^{2} e^{- x^{3}} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int - 3 x^{2} e^{- x^{3}} d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int - 3 x^{2} e^{- x^{3}} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 3$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = - 3 \int x^{2} e^{- x^{3}} d x$

Этап 2.3.2

Пусть $u_{2} = e^{- x^{3}}$ . Тогда $d u_{2} = - 3 x^{2} e^{- x^{3}} d x$ , следовательно $- \frac{1}{3} d u_{2} = x^{2} e^{- x^{3}} d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Пусть $u_{2} = e^{- x^{3}}$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Дифференцируем $e^{- x^{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{3}}]$

Этап 2.3.2.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = - x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $- x^{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Этап 2.3.2.1.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Этап 2.3.2.1.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $- x^{3}$ .

$e^{- x^{3}} \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Этап 2.3.2.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{3}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$e^{- x^{3}} (- \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 2.3.2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$e^{- x^{3}} (- (3 x^{2}))$

Этап 2.3.2.1.3.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$e^{- x^{3}} (- 3 x^{2})$

Этап 2.3.2.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.4.1

Изменим порядок множителей в $e^{- x^{3}} (- 3 x^{2})$ .

$- 3 e^{- x^{3}} x^{2}$

Этап 2.3.2.1.4.2

Изменим порядок множителей в $- 3 e^{- x^{3}} x^{2}$ .

$- 3 x^{2} e^{- x^{3}}$

Этап 2.3.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$y + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{- 3} d u_{2}$

Этап 2.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y + C_{1} = - 3 \int - \frac{1}{3} d u_{2}$

Этап 2.3.4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = - 3 (- \frac{1}{3} u_{2} + C_{2})$

Этап 2.3.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Упростим.

$y + C_{1} = - 3 (- \frac{1}{3} u_{2}) + C_{2}$

Этап 2.3.5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.1

Объединим $u_{2}$ и $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = - 3 (- \frac{u_{2}}{3}) + C_{2}$

Этап 2.3.5.2.2

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$y + C_{1} = 3 \frac{u_{2}}{3} + C_{2}$

Этап 2.3.5.2.3

Объединим $3$ и $\frac{u_{2}}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{3 u_{2}}{3} + C_{2}$

Этап 2.3.5.2.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.4.1

Сократим общий множитель.

$y + C_{1} = \frac{3 u_{2}}{3} + C_{2}$

Этап 2.3.5.2.4.2

Разделим $u_{2}$ на $1$ .

$y + C_{1} = u_{2} + C_{2}$

Этап 2.3.5.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $e^{- x^{3}}$ .

$y + C_{1} = e^{- x^{3}} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = e^{- x^{3}} + K$