Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} + (\sin (x)) y = e^{\cos (x)}$

Этап 1

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int \sin (x) d x}$

Этап 1.2

Интеграл $\sin (x)$ по $x$ имеет вид $- \cos (x)$ .

$e^{- \cos (x) + C}$

Этап 1.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{- \cos (x)}$

Этап 2

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $e^{- \cos (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член на $e^{- \cos (x)}$ .

$e^{- \cos (x)} \frac{d y}{d x} + e^{- \cos (x)} ((\sin (x)) y) = e^{- \cos (x)} e^{\cos (x)}$

Этап 2.2

Избавимся от скобок.

$e^{- \cos (x)} \frac{d y}{d x} + e^{- \cos (x)} \sin (x) y = e^{- \cos (x)} e^{\cos (x)}$

Этап 2.3

Умножим $e^{- \cos (x)}$ на $e^{\cos (x)}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$e^{- \cos (x)} \frac{d y}{d x} + e^{- \cos (x)} \sin (x) y = e^{- \cos (x) + \cos (x)}$

Этап 2.3.2

Добавим $- \cos (x)$ и $\cos (x)$ .

$e^{- \cos (x)} \frac{d y}{d x} + e^{- \cos (x)} \sin (x) y = e^{0}$

Этап 2.4

Упростим $e^{0}$ .

$e^{- \cos (x)} \frac{d y}{d x} + e^{- \cos (x)} \sin (x) y = 1$

Этап 2.5

Изменим порядок множителей в $e^{- \cos (x)} \frac{d y}{d x} + e^{- \cos (x)} \sin (x) y = 1$ .

$e^{- \cos (x)} \frac{d y}{d x} + y e^{- \cos (x)} \sin (x) = 1$

Этап 3

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [e^{- \cos (x)} y] = 1$

Этап 4

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- \cos (x)} y] d x = \int d x$

Этап 5

Проинтегрируем левую часть.

$e^{- \cos (x)} y = \int d x$

Этап 6

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$e^{- \cos (x)} y = x + C$

Этап 7

Разделим каждый член $e^{- \cos (x)} y = x + C$ на $e^{- \cos (x)}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим каждый член $e^{- \cos (x)} y = x + C$ на $e^{- \cos (x)}$ .

$\frac{e^{- \cos (x)} y}{e^{- \cos (x)}} = \frac{x}{e^{- \cos (x)}} + \frac{C}{e^{- \cos (x)}}$

Этап 7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель $e^{- \cos (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{- \cos (x)} y}{e^{- \cos (x)}} = \frac{x}{e^{- \cos (x)}} + \frac{C}{e^{- \cos (x)}}$

Этап 7.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{x}{e^{- \cos (x)}} + \frac{C}{e^{- \cos (x)}}$