Математический анализ Примеры

$x (1 + y^{2}) d x + y (1 + x^{2}) d y = 0$

Этап 1

Вычтем $x (1 + y^{2}) d x$ из обеих частей уравнения.

$y (1 + x^{2}) d y = - x (1 + y^{2}) d x$

Этап 2

Умножим обе части на $\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (y (1 + x^{2})) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- x (1 + y^{2})) d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель $1 + x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $1 + x^{2}$ из $y (1 + x^{2})$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} ((1 + x^{2}) y) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- x (1 + y^{2})) d x$

Этап 3.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} ((1 + x^{2}) y) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- x (1 + y^{2})) d x$

Этап 3.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{1 + y^{2}} y d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- x (1 + y^{2})) d x$

Этап 3.2

Объединим $\frac{1}{1 + y^{2}}$ и $y$ .

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- x (1 + y^{2})) d x$

Этап 3.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = - \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (x (1 + y^{2})) d x$

Этап 3.4

Сократим общий множитель $1 + y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}$ в числитель.

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (x (1 + y^{2})) d x$

Этап 3.4.2

Вынесем множитель $1 + y^{2}$ из $(1 + x^{2}) (1 + y^{2})$ .

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 1}{(1 + y^{2}) (1 + x^{2})} (x (1 + y^{2})) d x$

Этап 3.4.3

Вынесем множитель $1 + y^{2}$ из $x (1 + y^{2})$ .

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 1}{(1 + y^{2}) (1 + x^{2})} ((1 + y^{2}) x) d x$

Этап 3.4.4

Сократим общий множитель.

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 1}{(1 + y^{2}) (1 + x^{2})} ((1 + y^{2}) x) d x$

Этап 3.4.5

Перепишем это выражение.

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 1}{1 + x^{2}} x d x$

Этап 3.5

Объединим $\frac{- 1}{1 + x^{2}}$ и $x$ .

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{- x}{1 + x^{2}} d x$

Этап 3.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Этап 4

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Этап 4.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Пусть $u_{1} = 1 + y^{2}$ . Тогда $d u_{1} = 2 y d y$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{1} = y d y$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Пусть $u_{1} = 1 + y^{2}$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Дифференцируем $1 + y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y^{2}]$

Этап 4.2.1.1.2

По правилу суммы производная $1 + y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Этап 4.2.1.1.3

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Этап 4.2.1.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 + 2 y$

Этап 4.2.1.1.5

Добавим $0$ и $2 y$ .

$2 y$

Этап 4.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Умножим $\frac{1}{u_{1}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Этап 4.2.2.2

Перенесем $2$ влево от $u_{1}$ .

$\int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Этап 4.2.3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Этап 4.2.4

Интеграл $\frac{1}{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Этап 4.2.5

Упростим.

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Этап 4.2.6

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $1 + y^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \int - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Этап 4.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Этап 4.3.2

Пусть $u_{2} = 1 + x^{2}$ . Тогда $d u_{2} = 2 x d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Пусть $u_{2} = 1 + x^{2}$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Дифференцируем $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Этап 4.3.2.1.2

По правилу суммы производная $1 + x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 4.3.2.1.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 4.3.2.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Этап 4.3.2.1.5

Добавим $0$ и $2 x$ .

$2 x$

Этап 4.3.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Этап 4.3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Умножим $\frac{1}{u_{2}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Этап 4.3.3.2

Перенесем $2$ влево от $u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Этап 4.3.4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Этап 4.3.5

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Этап 4.3.6

Упростим.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Этап 4.3.7

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $1 + x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C_{2}$

Этап 4.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) = - \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C$

Этап 5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |)) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

Этап 5.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Упростим $2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\ln (| 1 + y^{2} |)$ .

$2 \frac{\ln (| 1 + y^{2} |)}{2} = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

Этап 5.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{\ln (| 1 + y^{2} |)}{2} = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

Этап 5.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

Этап 5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Упростим $2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Объединим $\ln (| 1 + x^{2} |)$ и $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 (- \frac{\ln (| 1 + x^{2} |)}{2} + C)$

Этап 5.2.2.1.2

Чтобы записать $C$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 (- \frac{\ln (| 1 + x^{2} |)}{2} + C \cdot \frac{2}{2})$

Этап 5.2.2.1.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.3.1

Объединим $C$ и $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 (- \frac{\ln (| 1 + x^{2} |)}{2} + \frac{C \cdot 2}{2})$

Этап 5.2.2.1.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 \frac{- \ln (| 1 + x^{2} |) + C \cdot 2}{2}$

Этап 5.2.2.1.3.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.3.3.1

Сократим общий множитель.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 \frac{- \ln (| 1 + x^{2} |) + C \cdot 2}{2}$

Этап 5.2.2.1.3.3.2

Перепишем это выражение.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = - \ln (| 1 + x^{2} |) + C \cdot 2$

Этап 5.2.2.1.4

Перенесем $2$ влево от $C$ .

$\ln (| 1 + y^{2} |) = - \ln (| 1 + x^{2} |) + 2 C$

Этап 5.3

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| 1 + y^{2} |) + \ln (| 1 + x^{2} |) = 2 C$

Этап 5.4

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| 1 + y^{2} | | 1 + x^{2} |) = 2 C$

Этап 5.5

Для перемножения модулей следует перемножить члены внутри каждого модуля.

$\ln (| (1 + y^{2}) (1 + x^{2}) |) = 2 C$

Этап 5.6

Развернем $(1 + y^{2}) (1 + x^{2})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (| 1 (1 + x^{2}) + y^{2} (1 + x^{2}) |) = 2 C$

Этап 5.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (| 1 \cdot 1 + 1 x^{2} + y^{2} (1 + x^{2}) |) = 2 C$

Этап 5.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (| 1 \cdot 1 + 1 x^{2} + y^{2} \cdot 1 + y^{2} x^{2} |) = 2 C$

Этап 5.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Умножим $1$ на $1$ .

$\ln (| 1 + 1 x^{2} + y^{2} \cdot 1 + y^{2} x^{2} |) = 2 C$

Этап 5.7.2

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$\ln (| 1 + x^{2} + y^{2} \cdot 1 + y^{2} x^{2} |) = 2 C$

Этап 5.7.3

Умножим $y^{2}$ на $1$ .

$\ln (| 1 + x^{2} + y^{2} + y^{2} x^{2} |) = 2 C$

Этап 5.8

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| 1 + x^{2} + y^{2} + y^{2} x^{2} |)} = e^{2 C}$

Этап 5.9

Перепишем $\ln (| 1 + x^{2} + y^{2} + y^{2} x^{2} |) = 2 C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{2 C} = | 1 + x^{2} + y^{2} + y^{2} x^{2} |$

Этап 5.10

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.10.1

Перепишем уравнение в виде $| 1 + x^{2} + y^{2} + y^{2} x^{2} | = e^{2 C}$ .

$| 1 + x^{2} + y^{2} + y^{2} x^{2} | = e^{2 C}$

Этап 5.10.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$1 + x^{2} + y^{2} + y^{2} x^{2} = \pm e^{2 C}$

Этап 5.10.3

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.10.3.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} + y^{2} + y^{2} x^{2} = \pm e^{2 C} - 1$

Этап 5.10.3.2

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$y^{2} + y^{2} x^{2} = \pm e^{2 C} - 1 - x^{2}$

Этап 5.10.4

Вынесем множитель $y^{2}$ из $y^{2} + y^{2} x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.10.4.1

Умножим на $1$ .

$y^{2} \cdot 1 + y^{2} x^{2} = \pm e^{2 C} - 1 - x^{2}$

Этап 5.10.4.2

Вынесем множитель $y^{2}$ из $y^{2} x^{2}$ .

$y^{2} \cdot 1 + y^{2} (x^{2}) = \pm e^{2 C} - 1 - x^{2}$

Этап 5.10.4.3

Вынесем множитель $y^{2}$ из $y^{2} \cdot 1 + y^{2} (x^{2})$ .

$y^{2} (1 + x^{2}) = \pm e^{2 C} - 1 - x^{2}$

Этап 5.10.5

Разделим каждый член $y^{2} (1 + x^{2}) = \pm e^{2 C} - 1 - x^{2}$ на $1 + x^{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.10.5.1

Разделим каждый член $y^{2} (1 + x^{2}) = \pm e^{2 C} - 1 - x^{2}$ на $1 + x^{2}$ .

$\frac{y^{2} (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} = \frac{\pm e^{2 C}}{1 + x^{2}} + \frac{- 1}{1 + x^{2}} + \frac{- x^{2}}{1 + x^{2}}$

Этап 5.10.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.10.5.2.1

Сократим общий множитель $1 + x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.10.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y^{2} (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} = \frac{\pm e^{2 C}}{1 + x^{2}} + \frac{- 1}{1 + x^{2}} + \frac{- x^{2}}{1 + x^{2}}$

Этап 5.10.5.2.1.2

Разделим $y^{2}$ на $1$ .

$y^{2} = \frac{\pm e^{2 C}}{1 + x^{2}} + \frac{- 1}{1 + x^{2}} + \frac{- x^{2}}{1 + x^{2}}$

Этап 5.10.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.10.5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.10.5.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y^{2} = \frac{\pm e^{2 C}}{1 + x^{2}} - \frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{- x^{2}}{1 + x^{2}}$

Этап 5.10.5.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y^{2} = \frac{\pm e^{2 C}}{1 + x^{2}} - \frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{x^{2}}{1 + x^{2}}$

Этап 5.10.5.3.2

Объединим в одну дробь.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.10.5.3.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y^{2} = \frac{\pm e^{2 C} - 1}{1 + x^{2}} - \frac{x^{2}}{1 + x^{2}}$

Этап 5.10.5.3.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y^{2} = \frac{\pm e^{2 C} - 1 - x^{2}}{1 + x^{2}}$

Этап 5.10.6

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{2 C} - 1 - x^{2}}{1 + x^{2}}}$

Этап 5.10.7

Упростим $\pm \sqrt{\frac{\pm e^{2 C} - 1 - x^{2}}{1 + x^{2}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.10.7.1

Перепишем $\sqrt{\frac{\pm e^{2 C} - 1 - x^{2}}{1 + x^{2}}}$ в виде $\frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 1 - x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 1 - x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Этап 5.10.7.2

Умножим $\frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 1 - x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ на $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 1 - x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Этап 5.10.7.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.10.7.3.1

Умножим $\frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 1 - x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ на $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 1 - x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}}$

Этап 5.10.7.3.2

Возведем $\sqrt{1 + x^{2}}$ в степень $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 1 - x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} \sqrt{1 + x^{2}}}$

Этап 5.10.7.3.3

Возведем $\sqrt{1 + x^{2}}$ в степень $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 1 - x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + x^{2}}}^{1}}$

Этап 5.10.7.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 1 - x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1 + 1}}$

Этап 5.10.7.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 1 - x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}}$

Этап 5.10.7.3.6

Перепишем ${\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}$ в виде $1 + x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.10.7.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{1 + x^{2}}$ в виде ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 1 - x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}}{{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 5.10.7.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 1 - x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 5.10.7.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 1 - x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.10.7.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.10.7.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 1 - x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.10.7.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 1 - x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{1}}$

Этап 5.10.7.3.6.5

Упростим.

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 1 - x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$

Этап 5.10.7.4

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$y = \pm \frac{\sqrt{(\pm e^{2 C} - 1 - x^{2}) (1 + x^{2})}}{1 + x^{2}}$

Этап 6

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \pm \frac{\sqrt{(C - x^{2}) (1 + x^{2})}}{1 + x^{2}}$