Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = - 9 x^{8} e^{- x^{9}}$ , $y (0) = 2$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = - 9 x^{8} e^{- x^{9}} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int - 9 x^{8} e^{- x^{9}} d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int - 9 x^{8} e^{- x^{9}} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 9$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 9$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = - 9 \int x^{8} e^{- x^{9}} d x$

Этап 2.3.2

Пусть $u_{2} = e^{- x^{9}}$ . Тогда $d u_{2} = - 9 x^{8} e^{- x^{9}} d x$ , следовательно $- \frac{1}{9} d u_{2} = x^{8} e^{- x^{9}} d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Пусть $u_{2} = e^{- x^{9}}$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Дифференцируем $e^{- x^{9}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{9}}]$

Этап 2.3.2.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = - x^{9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $- x^{9}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{9}]$

Этап 2.3.2.1.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{9}]$

Этап 2.3.2.1.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $- x^{9}$ .

$e^{- x^{9}} \frac{d}{d x} [- x^{9}]$

Этап 2.3.2.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{9}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{9}]$ .

$e^{- x^{9}} (- \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Этап 2.3.2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 9$ .

$e^{- x^{9}} (- (9 x^{8}))$

Этап 2.3.2.1.3.3

Умножим $9$ на $- 1$ .

$e^{- x^{9}} (- 9 x^{8})$

Этап 2.3.2.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.4.1

Изменим порядок множителей в $e^{- x^{9}} (- 9 x^{8})$ .

$- 9 e^{- x^{9}} x^{8}$

Этап 2.3.2.1.4.2

Изменим порядок множителей в $- 9 e^{- x^{9}} x^{8}$ .

$- 9 x^{8} e^{- x^{9}}$

Этап 2.3.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$y + C_{1} = - 9 \int \frac{1}{- 9} d u_{2}$

Этап 2.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y + C_{1} = - 9 \int - \frac{1}{9} d u_{2}$

Этап 2.3.4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = - 9 (- \frac{1}{9} u_{2} + C_{2})$

Этап 2.3.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Упростим.

$y + C_{1} = - 9 (- \frac{1}{9} u_{2}) + C_{2}$

Этап 2.3.5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.1

Объединим $u_{2}$ и $\frac{1}{9}$ .

$y + C_{1} = - 9 (- \frac{u_{2}}{9}) + C_{2}$

Этап 2.3.5.2.2

Умножим $- 1$ на $- 9$ .

$y + C_{1} = 9 \frac{u_{2}}{9} + C_{2}$

Этап 2.3.5.2.3

Объединим $9$ и $\frac{u_{2}}{9}$ .

$y + C_{1} = \frac{9 u_{2}}{9} + C_{2}$

Этап 2.3.5.2.4

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.4.1

Сократим общий множитель.

$y + C_{1} = \frac{9 u_{2}}{9} + C_{2}$

Этап 2.3.5.2.4.2

Разделим $u_{2}$ на $1$ .

$y + C_{1} = u_{2} + C_{2}$

Этап 2.3.5.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $e^{- x^{9}}$ .

$y + C_{1} = e^{- x^{9}} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = e^{- x^{9}} + K$

Этап 3

Используем начальное условие, чтобы найти значение $K$ , подставив $0$ вместо $x$ и $2$ вместо $y$ в $y = e^{- x^{9}} + K$ .

$2 = e^{- 0^{9}} + K$

Этап 4

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $e^{- 0^{9}} + K = 2$ .

$e^{- 0^{9}} + K = 2$

Этап 4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$e^{- 0} + K = 2$

Этап 4.2.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$e^{0} + K = 2$

Этап 4.2.3

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$1 + K = 2$

Этап 4.3

Перенесем все члены без $K$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$K = 2 - 1$

Этап 4.3.2

Вычтем $1$ из $2$ .

$K = 1$

Этап 5

Подставим $1$ вместо $K$ в $y = e^{- x^{9}} + K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $1$ вместо $K$ .

$y = e^{- x^{9}} + 1$