Математический анализ Примеры

$(1 + x^{3}) d y - x^{2} (y d) x = 0$

Этап 1

Добавим $x^{2} y d x$ к обеим частям уравнения.

$(1 + x^{3}) d y = x^{2} y d x$

Этап 2

Умножим обе части на $\frac{1}{(1 + x^{3}) y}$ .

$\frac{1}{(1 + x^{3}) y} (1 + x^{3}) d y = \frac{1}{(1 + x^{3}) y} (x^{2} y) d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель $1 + x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $1 + x^{3}$ из $(1 + x^{3}) y$ .

$\frac{1}{(1 + x^{3}) (y)} (1 + x^{3}) d y = \frac{1}{(1 + x^{3}) y} (x^{2} y) d x$

Этап 3.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{(1 + x^{3}) y} (1 + x^{3}) d y = \frac{1}{(1 + x^{3}) y} (x^{2} y) d x$

Этап 3.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(1 + x^{3}) y} (x^{2} y) d x$

Этап 3.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем множитель $y$ из $(1 + x^{3}) y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y (1 + x^{3})} (x^{2} y) d x$

Этап 3.2.2

Вынесем множитель $y$ из $x^{2} y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y (1 + x^{3})} (y x^{2}) d x$

Этап 3.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y (1 + x^{3})} (y x^{2}) d x$

Этап 3.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{1 + x^{3}} x^{2} d x$

Этап 3.3

Объединим $\frac{1}{1 + x^{3}}$ и $x^{2}$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{x^{2}}{1 + x^{3}} d x$

Этап 3.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем $1$ в виде $1^{3}$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{x^{2}}{1^{3} + x^{3}} d x$

Этап 3.4.2

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу суммы кубов, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , где $a = 1$ и $b = x$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{x^{2}}{(1 + x) (1^{2} - 1 x + x^{2})} d x$

Этап 3.4.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{y} d y = \frac{x^{2}}{(1 + x) (1 - 1 x + x^{2})} d x$

Этап 3.4.3.2

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{x^{2}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} d x$

Этап 4

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{x^{2}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} d x$

Этап 4.2

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x^{2}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} d x$

Этап 4.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Пусть $u = (1 + x) (1 - x + x^{2})$ . Тогда $d u = 3 x^{2} d x$ , следовательно $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Пусть $u = (1 + x) (1 - x + x^{2})$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1.1

Дифференцируем $(1 + x) (1 - x + x^{2})$ .

$\frac{d}{d x} [(1 + x) (1 - x + x^{2})]$

Этап 4.3.1.1.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = 1 + x$ и $g (x) = 1 - x + x^{2}$ .

$(1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x + x^{2}] + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Этап 4.3.1.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1.3.1

По правилу суммы производная $1 - x + x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(1 + x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Этап 4.3.1.1.3.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$(1 + x) (0 + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Этап 4.3.1.1.3.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$(1 + x) (\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Этап 4.3.1.1.3.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$(1 + x) (- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Этап 4.3.1.1.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(1 + x) (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Этап 4.3.1.1.3.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$(1 + x) (- 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Этап 4.3.1.1.3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Этап 4.3.1.1.3.8

По правилу суммы производная $1 + x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + (1 - x + x^{2}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.3.1.1.3.9

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + (1 - x + x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.3.1.1.3.10

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [x]$ .

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.3.1.1.3.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + (1 - x + x^{2}) \cdot 1$

Этап 4.3.1.1.3.12

Умножим $1 - x + x^{2}$ на $1$ .

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + 1 - x + x^{2}$

Этап 4.3.1.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(1 + x) \cdot - 1 + (1 + x) (2 x) + 1 - x + x^{2}$

Этап 4.3.1.1.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$1 \cdot - 1 + x \cdot - 1 + (1 + x) (2 x) + 1 - x + x^{2}$

Этап 4.3.1.1.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$1 \cdot - 1 + x \cdot - 1 + 1 (2 x) + x (2 x) + 1 - x + x^{2}$

Этап 4.3.1.1.4.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1.4.4.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1 + x \cdot - 1 + 1 (2 x) + x (2 x) + 1 - x + x^{2}$

Этап 4.3.1.1.4.4.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$- 1 - 1 \cdot x + 1 (2 x) + x (2 x) + 1 - x + x^{2}$

Этап 4.3.1.1.4.4.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$- 1 - x + 1 (2 x) + x (2 x) + 1 - x + x^{2}$

Этап 4.3.1.1.4.4.4

Умножим $2$ на $1$ .

$- 1 - x + 2 x + x (2 x) + 1 - x + x^{2}$

Этап 4.3.1.1.4.4.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- 1 - x + 2 x + 2 (x^{1} x) + 1 - x + x^{2}$

Этап 4.3.1.1.4.4.6

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- 1 - x + 2 x + 2 (x^{1} x^{1}) + 1 - x + x^{2}$

Этап 4.3.1.1.4.4.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 1 - x + 2 x + 2 x^{1 + 1} + 1 - x + x^{2}$

Этап 4.3.1.1.4.4.8

Добавим $1$ и $1$ .

$- 1 - x + 2 x + 2 x^{2} + 1 - x + x^{2}$

Этап 4.3.1.1.4.4.9

Добавим $- x$ и $2 x$ .

$- 1 + x + 2 x^{2} + 1 - x + x^{2}$

Этап 4.3.1.1.4.4.10

Добавим $- 1$ и $1$ .

$x + 2 x^{2} + 0 - x + x^{2}$

Этап 4.3.1.1.4.4.11

Добавим $x + 2 x^{2}$ и $0$ .

$x + 2 x^{2} - x + x^{2}$

Этап 4.3.1.1.4.4.12

Вычтем $x$ из $x$ .

$2 x^{2} + 0 + x^{2}$

Этап 4.3.1.1.4.4.13

Добавим $2 x^{2}$ и $0$ .

$2 x^{2} + x^{2}$

Этап 4.3.1.1.4.4.14

Добавим $2 x^{2}$ и $x^{2}$ .

$3 x^{2}$

Этап 4.3.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u$

Этап 4.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u \cdot 3} d u$

Этап 4.3.2.2

Перенесем $3$ влево от $u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{3 u} d u$

Этап 4.3.3

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 4.3.4

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{2})$

Этап 4.3.5

Упростим.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} \ln (| u |) + C_{2}$

Этап 4.3.6

Заменим все вхождения $u$ на $(1 + x) (1 - x + x^{2})$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} \ln (| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |) + C_{2}$

Этап 4.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{3} \ln (| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |) + C$

Этап 5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $\ln (| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |)$ .

$\ln (| y |) = \frac{\ln (| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |)}{3} + C$

Этап 5.2

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |)}{3} = C$

Этап 5.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Развернем $(1 + x) (1 - x + x^{2})$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- x) + 1 x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} |)}{3} = C$

Этап 5.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Умножим $1$ на $1$ .

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| 1 + 1 (- x) + 1 x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} |)}{3} = C$

Этап 5.3.2.2

Умножим $- x$ на $1$ .

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| 1 - x + 1 x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} |)}{3} = C$

Этап 5.3.2.3

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| 1 - x + x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} |)}{3} = C$

Этап 5.3.2.4

Умножим $x$ на $1$ .

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| 1 - x + x^{2} + x + x (- x) + x \cdot x^{2} |)}{3} = C$

Этап 5.3.2.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| 1 - x + x^{2} + x - x \cdot x + x \cdot x^{2} |)}{3} = C$

Этап 5.3.2.6

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.6.1

Перенесем $x$ .

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| 1 - x + x^{2} + x - (x \cdot x) + x \cdot x^{2} |)}{3} = C$

Этап 5.3.2.6.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| 1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x \cdot x^{2} |)}{3} = C$

Этап 5.3.2.7

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.7.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.7.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| 1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x \cdot x^{2} |)}{3} = C$

Этап 5.3.2.7.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| 1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{1 + 2} |)}{3} = C$

Этап 5.3.2.7.2

Добавим $1$ и $2$ .

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| 1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{3} |)}{3} = C$

Этап 5.3.3

Объединим противоположные члены в $1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Добавим $- x$ и $x$ .

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| 1 + x^{2} + 0 - x^{2} + x^{3} |)}{3} = C$

Этап 5.3.3.2

Добавим $1 + x^{2}$ и $0$ .

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| 1 + x^{2} - x^{2} + x^{3} |)}{3} = C$

Этап 5.3.3.3

Вычтем $x^{2}$ из $x^{2}$ .

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| 1 + 0 + x^{3} |)}{3} = C$

Этап 5.3.3.4

Добавим $1$ и $0$ .

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| 1 + x^{3} |)}{3} = C$

Этап 5.4

Чтобы записать $\ln (| y |)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\ln (| y |) \cdot \frac{3}{3} - \frac{\ln (| 1 + x^{3} |)}{3} = C$

Этап 5.5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Объединим $\ln (| y |)$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\ln (| y |) \cdot 3}{3} - \frac{\ln (| 1 + x^{3} |)}{3} = C$

Этап 5.5.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\ln (| y |) \cdot 3 - \ln (| 1 + x^{3} |)}{3} = C$

Этап 5.6

Перенесем $3$ влево от $\ln (| y |)$ .

$\frac{3 \ln (| y |) - \ln (| 1 + x^{3} |)}{3} = C$

Этап 5.7

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Упростим $\frac{3 \ln (| y |) - \ln (| 1 + x^{3} |)}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1.1.1

Упростим $3 \ln (| y |)$ путем переноса $3$ под логарифм.

$\frac{\ln ({| y |}^{3}) - \ln (| 1 + x^{3} |)}{3} = C$

Этап 5.7.1.1.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| 1 + x^{3} |})}{3} = C$

Этап 5.7.1.1.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1.1.3.1

Перепишем $1$ в виде $1^{3}$ .

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| 1^{3} + x^{3} |})}{3} = C$

Этап 5.7.1.1.3.2

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| (1 + x) (1^{2} - 1 x + x^{2}) |})}{3} = C$

Этап 5.7.1.1.3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1.1.3.3.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| (1 + x) (1 - 1 x + x^{2}) |})}{3} = C$

Этап 5.7.1.1.3.3.2

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |})}{3} = C$

Этап 5.7.1.1.3.4

Развернем $(1 + x) (1 - x + x^{2})$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| 1 \cdot 1 + 1 (- x) + 1 x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} |})}{3} = C$

Этап 5.7.1.1.3.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1.1.3.5.1

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| 1 + 1 (- x) + 1 x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} |})}{3} = C$

Этап 5.7.1.1.3.5.2

Умножим $- x$ на $1$ .

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| 1 - x + 1 x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} |})}{3} = C$

Этап 5.7.1.1.3.5.3

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| 1 - x + x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} |})}{3} = C$

Этап 5.7.1.1.3.5.4

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| 1 - x + x^{2} + x + x (- x) + x \cdot x^{2} |})}{3} = C$

Этап 5.7.1.1.3.5.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| 1 - x + x^{2} + x - x \cdot x + x \cdot x^{2} |})}{3} = C$

Этап 5.7.1.1.3.5.6

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1.1.3.5.6.1

Перенесем $x$ .

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| 1 - x + x^{2} + x - (x \cdot x) + x \cdot x^{2} |})}{3} = C$

Этап 5.7.1.1.3.5.6.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| 1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x \cdot x^{2} |})}{3} = C$

Этап 5.7.1.1.3.5.7

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1.1.3.5.7.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1.1.3.5.7.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| 1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{1} x^{2} |})}{3} = C$

Этап 5.7.1.1.3.5.7.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| 1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{1 + 2} |})}{3} = C$

Этап 5.7.1.1.3.5.7.2

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| 1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{3} |})}{3} = C$

Этап 5.7.1.1.3.6

Объединим противоположные члены в $1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1.1.3.6.1

Добавим $- x$ и $x$ .

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| 1 + x^{2} + 0 - x^{2} + x^{3} |})}{3} = C$

Этап 5.7.1.1.3.6.2

Добавим $1 + x^{2}$ и $0$ .

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| 1 + x^{2} - x^{2} + x^{3} |})}{3} = C$

Этап 5.7.1.1.3.6.3

Вычтем $x^{2}$ из $x^{2}$ .

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| 1 + 0 + x^{3} |})}{3} = C$

Этап 5.7.1.1.3.6.4

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| 1 + x^{3} |})}{3} = C$

Этап 5.7.1.1.3.7

Перепишем $1$ в виде $1^{3}$ .

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| 1^{3} + x^{3} |})}{3} = C$

Этап 5.7.1.1.3.8

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| (1 + x) (1^{2} - 1 x + x^{2}) |})}{3} = C$

Этап 5.7.1.1.3.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1.1.3.9.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| (1 + x) (1 - 1 x + x^{2}) |})}{3} = C$

Этап 5.7.1.1.3.9.2

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |})}{3} = C$

Этап 5.7.1.2

Перепишем $\frac{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |})}{3}$ в виде $\frac{1}{3} \ln (\frac{{| y |}^{3}}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |})$ .

$\frac{1}{3} \ln (\frac{{| y |}^{3}}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |}) = C$

Этап 5.7.1.3

Упростим $\frac{1}{3} \ln (\frac{{| y |}^{3}}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |})$ путем переноса $\frac{1}{3}$ под логарифм.

$\ln ({(\frac{{| y |}^{3}}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |})}^{\frac{1}{3}}) = C$

Этап 5.7.1.4

Применим правило умножения к $\frac{{| y |}^{3}}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |}$ .

$\ln (\frac{{({| y |}^{3})}^{\frac{1}{3}}}{{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |}^{\frac{1}{3}}}) = C$

Этап 5.7.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1.5.1

Перемножим экспоненты в ${({| y |}^{3})}^{\frac{1}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1.5.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{{| y |}^{3 (\frac{1}{3})}}{{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |}^{\frac{1}{3}}}) = C$

Этап 5.7.1.5.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1.5.1.2.1

Сократим общий множитель.

$\ln (\frac{{| y |}^{3 (\frac{1}{3})}}{{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |}^{\frac{1}{3}}}) = C$

Этап 5.7.1.5.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\ln (\frac{{| y |}^{1}}{{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |}^{\frac{1}{3}}}) = C$

Этап 5.7.1.5.2

Упростим.

$\ln (\frac{| y |}{{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |}^{\frac{1}{3}}}) = C$

Этап 5.7.1.6

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1.6.1

Развернем $(1 + x) (1 - x + x^{2})$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$\ln (\frac{| y |}{{| 1 \cdot 1 + 1 (- x) + 1 x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}) = C$

Этап 5.7.1.6.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1.6.2.1

Умножим $1$ на $1$ .

$\ln (\frac{| y |}{{| 1 + 1 (- x) + 1 x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}) = C$

Этап 5.7.1.6.2.2

Умножим $- x$ на $1$ .

$\ln (\frac{| y |}{{| 1 - x + 1 x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}) = C$

Этап 5.7.1.6.2.3

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$\ln (\frac{| y |}{{| 1 - x + x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}) = C$

Этап 5.7.1.6.2.4

Умножим $x$ на $1$ .

$\ln (\frac{| y |}{{| 1 - x + x^{2} + x + x (- x) + x \cdot x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}) = C$

Этап 5.7.1.6.2.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\ln (\frac{| y |}{{| 1 - x + x^{2} + x - x \cdot x + x \cdot x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}) = C$

Этап 5.7.1.6.2.6

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1.6.2.6.1

Перенесем $x$ .

$\ln (\frac{| y |}{{| 1 - x + x^{2} + x - (x \cdot x) + x \cdot x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}) = C$

Этап 5.7.1.6.2.6.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\ln (\frac{| y |}{{| 1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x \cdot x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}) = C$

Этап 5.7.1.6.2.7

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1.6.2.7.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1.6.2.7.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\ln (\frac{| y |}{{| 1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{1} x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}) = C$

Этап 5.7.1.6.2.7.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\ln (\frac{| y |}{{| 1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{1 + 2} |}^{\frac{1}{3}}}) = C$

Этап 5.7.1.6.2.7.2

Добавим $1$ и $2$ .

$\ln (\frac{| y |}{{| 1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{3} |}^{\frac{1}{3}}}) = C$

Этап 5.7.1.6.3

Объединим противоположные члены в $1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1.6.3.1

Добавим $- x$ и $x$ .

$\ln (\frac{| y |}{{| 1 + x^{2} + 0 - x^{2} + x^{3} |}^{\frac{1}{3}}}) = C$

Этап 5.7.1.6.3.2

Добавим $1 + x^{2}$ и $0$ .

$\ln (\frac{| y |}{{| 1 + x^{2} - x^{2} + x^{3} |}^{\frac{1}{3}}}) = C$

Этап 5.7.1.6.3.3

Вычтем $x^{2}$ из $x^{2}$ .

$\ln (\frac{| y |}{{| 1 + 0 + x^{3} |}^{\frac{1}{3}}}) = C$

Этап 5.7.1.6.3.4

Добавим $1$ и $0$ .

$\ln (\frac{| y |}{{| 1 + x^{3} |}^{\frac{1}{3}}}) = C$

Этап 5.8

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (\frac{| y |}{{| 1 + x^{3} |}^{\frac{1}{3}}})} = e^{C}$

Этап 5.9

Перепишем $\ln (\frac{| y |}{{| 1 + x^{3} |}^{\frac{1}{3}}}) = C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y |}{{| 1 + x^{3} |}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 5.10

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.10.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{| y |}{{| 1 + x^{3} |}^{\frac{1}{3}}} = e^{C}$ .

$\frac{| y |}{{| 1 + x^{3} |}^{\frac{1}{3}}} = e^{C}$

Этап 5.10.2

Умножим обе части на ${| 1 + x^{3} |}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{| y |}{{| 1 + x^{3} |}^{\frac{1}{3}}} {| 1 + x^{3} |}^{\frac{1}{3}} = e^{C} {| 1 + x^{3} |}^{\frac{1}{3}}$

Этап 5.10.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.10.3.1

Сократим общий множитель ${| 1 + x^{3} |}^{\frac{1}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.10.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{| y |}{{| 1 + x^{3} |}^{\frac{1}{3}}} {| 1 + x^{3} |}^{\frac{1}{3}} = e^{C} {| 1 + x^{3} |}^{\frac{1}{3}}$

Этап 5.10.3.1.2

Перепишем это выражение.

$| y | = e^{C} {| 1 + x^{3} |}^{\frac{1}{3}}$

Этап 5.10.4

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{C} {| 1 + x^{3} |}^{\frac{1}{3}}$

Этап 6

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \pm C {| 1 + x^{3} |}^{\frac{1}{3}}$

Этап 6.2

Объединим константы с плюсом или минусом.

$y = C {| 1 + x^{3} |}^{\frac{1}{3}}$