Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = 2 - 0.02 y$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{2 - 0.02 y}$ .

$\frac{1}{2 - 0.02 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 - 0.02 y} (2 - 0.02 y)$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $2 - 0.02 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2 - 0.02 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 - 0.02 y} (2 - 0.02 y)$

Этап 1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2 - 0.02 y} \frac{d y}{d x} = 1$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{2 - 0.02 y} d y = 1 d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{2 - 0.02 y} d y = \int d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть $u = 2 - 0.02 y$ . Тогда $d u = - 0.02 d y$ , следовательно $\frac{1}{- 0.02} d u = d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Пусть $u = 2 - 0.02 y$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Перепишем.

$\frac{- 0.02}{1}$

Этап 2.2.1.1.2

Разделим $- 0.02$ на $1$ .

$- 0.02$

Этап 2.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{- 50}{u} d u = \int d x$

Этап 2.2.2

Разделим дробь на несколько дробей.

$\int - \frac{50}{u} d u = \int d x$

Этап 2.2.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{50}{u} d u = \int d x$

Этап 2.2.4

Поскольку $50$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $50$ из-под знака интеграла.

$- (50 \int \frac{1}{u} d u) = \int d x$

Этап 2.2.5

Умножим $50$ на $- 1$ .

$- 50 \int \frac{1}{u} d u = \int d x$

Этап 2.2.6

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$- 50 (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d x$

Этап 2.2.7

Упростим.

$- 50 \ln (| u |) + C_{1} = \int d x$

Этап 2.2.8

Заменим все вхождения $u$ на $2 - 0.02 y$ .

$- 50 \ln (| 2 - 0.02 y |) + C_{1} = \int d x$

Этап 2.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- 50 \ln (| 2 - 0.02 y |) + C_{1} = x + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$- 50 \ln (| 2 - 0.02 y |) = x + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим каждый член $- 50 \ln (| 2 - 0.02 y |) = x + C$ на $- 50$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Разделим каждый член $- 50 \ln (| 2 - 0.02 y |) = x + C$ на $- 50$ .

$\frac{- 50 \ln (| 2 - 0.02 y |)}{- 50} = \frac{x}{- 50} + \frac{C}{- 50}$

Этап 3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Сократим общий множитель $- 50$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 50 \ln (| 2 - 0.02 y |)}{- 50} = \frac{x}{- 50} + \frac{C}{- 50}$

Этап 3.1.2.1.2

Разделим $\ln (| 2 - 0.02 y |)$ на $1$ .

$\ln (| 2 - 0.02 y |) = \frac{x}{- 50} + \frac{C}{- 50}$

Этап 3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\ln (| 2 - 0.02 y |) = - \frac{x}{50} + \frac{C}{- 50}$

Этап 3.1.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\ln (| 2 - 0.02 y |) = - \frac{x}{50} - \frac{C}{50}$

Этап 3.2

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| 2 - 0.02 y |)} = e^{- \frac{x}{50} - \frac{C}{50}}$

Этап 3.3

Перепишем $\ln (| 2 - 0.02 y |) = - \frac{x}{50} - \frac{C}{50}$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{x}{50} - \frac{C}{50}} = | 2 - 0.02 y |$

Этап 3.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем уравнение в виде $| 2 - 0.02 y | = e^{- \frac{x}{50} - \frac{C}{50}}$ .

$| 2 - 0.02 y | = e^{- \frac{x}{50} - \frac{C}{50}}$

Этап 3.4.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$2 - 0.02 y = \pm e^{- \frac{x}{50} - \frac{C}{50}}$

Этап 3.4.3

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$- 0.02 y = \pm e^{- \frac{x}{50} - \frac{C}{50}} - 2$

Этап 3.4.4

Разделим каждый член $- 0.02 y = \pm e^{- \frac{x}{50} - \frac{C}{50}} - 2$ на $- 0.02$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Разделим каждый член $- 0.02 y = \pm e^{- \frac{x}{50} - \frac{C}{50}} - 2$ на $- 0.02$ .

$\frac{- 0.02 y}{- 0.02} = \frac{\pm e^{- \frac{x}{50} - \frac{C}{50}}}{- 0.02} + \frac{- 2}{- 0.02}$

Этап 3.4.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.1

Сократим общий множитель $- 0.02$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 0.02 y}{- 0.02} = \frac{\pm e^{- \frac{x}{50} - \frac{C}{50}}}{- 0.02} + \frac{- 2}{- 0.02}$

Этап 3.4.4.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\pm e^{- \frac{x}{50} - \frac{C}{50}}}{- 0.02} + \frac{- 2}{- 0.02}$

Этап 3.4.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.3.1.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{\pm e^{\frac{- x - C}{50}}}{- 0.02} + \frac{- 2}{- 0.02}$

Этап 3.4.4.3.1.2

Упростим $\frac{\pm e^{\frac{- x - C}{50}}}{- 0.02}$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{- x - C}{50}}}{0.02} + \frac{- 2}{- 0.02}$

Этап 3.4.4.3.1.3

Умножим на $1$ .

$y = \frac{1 (\pm e^{\frac{- x - C}{50}})}{0.02} + \frac{- 2}{- 0.02}$

Этап 3.4.4.3.1.4

Вынесем множитель $0.02$ из $0.02$ .

$y = \frac{1 (\pm e^{\frac{- x - C}{50}})}{0.02 (1)} + \frac{- 2}{- 0.02}$

Этап 3.4.4.3.1.5

Разделим дроби.

$y = \frac{1}{0.02} \cdot \frac{\pm e^{\frac{- x - C}{50}}}{1} + \frac{- 2}{- 0.02}$

Этап 3.4.4.3.1.6

Разделим $1$ на $0.02$ .

$y = 50 \frac{\pm e^{\frac{- x - C}{50}}}{1} + \frac{- 2}{- 0.02}$

Этап 3.4.4.3.1.7

Разделим $\pm e^{\frac{- x - C}{50}}$ на $1$ .

$y = 50 (\pm e^{\frac{- x - C}{50}}) + \frac{- 2}{- 0.02}$

Этап 3.4.4.3.1.8

Разделим $- 2$ на $- 0.02$ .

$y = 50 (\pm e^{\frac{- x - C}{50}}) + 100$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = 50 (\pm e^{\frac{- x + C}{50}}) + 100$