Математический анализ Примеры

$4 e^{4 y} \frac{d y}{d x} = 2 x e^{3 x} + 3 e^{4 y}$

Этап 1

Пусть $v = e^{4 y}$ . Подставим $v$ вместо $e^{4 y}$ для всех.

$4 v \frac{d y}{d x} = 2 x e^{3 x} + 3 v$

Этап 2

Найдем $\frac{d v}{d x}$ , дифференцируя $e^{4 y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = 4 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $4 y$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [4 y]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{u} \frac{d}{d x} [4 y]$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $4 y$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{4 y} \frac{d}{d x} [4 y]$

Этап 2.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 y$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{4 y} (4 \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{4 y} (4 y')$

Этап 2.4

Изменим порядок множителей в $e^{4 y} (4 y')$ .

$\frac{d v}{d x} = 4 e^{4 y} y'$

Этап 3

Подставим $v$ вместо $e^{4 y}$ .

$\frac{d v}{d x} = 4 v y'$

Этап 4

Подставим производную обратно в дифференциальное уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сократим общий множитель.

$4 v \frac{\frac{d v}{d x}}{4 v} = 2 x e^{3 x} + 3 v$

Этап 4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{d v}{d x} = 2 x e^{3 x} + 3 v$

Этап 5

Вычтем $3 v$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d v}{d x} - 3 v = 2 x e^{3 x}$

Этап 6

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int - 3 d x}$

Этап 6.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$e^{- 3 x + C}$

Этап 6.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{- 3 x}$

Этап 7

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $e^{- 3 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим каждый член на $e^{- 3 x}$ .

$e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} + e^{- 3 x} (- 3 v) = e^{- 3 x} (2 x e^{3 x})$

Этап 7.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} - 3 e^{- 3 x} v = e^{- 3 x} (2 x e^{3 x})$

Этап 7.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} - 3 e^{- 3 x} v = 2 e^{- 3 x} (x e^{3 x})$

Этап 7.4

Умножим $e^{- 3 x}$ на $e^{3 x}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Перенесем $e^{3 x}$ .

$e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} - 3 e^{- 3 x} v = 2 (e^{3 x} e^{- 3 x}) x$

Этап 7.4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} - 3 e^{- 3 x} v = 2 e^{3 x - 3 x} x$

Этап 7.4.3

Вычтем $3 x$ из $3 x$ .

$e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} - 3 e^{- 3 x} v = 2 e^{0} x$

Этап 7.5

Упростим $2 e^{0} x$ .

$e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} - 3 e^{- 3 x} v = 2 x$

Этап 7.6

Изменим порядок множителей в $e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} - 3 e^{- 3 x} v = 2 x$ .

$e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} - 3 v e^{- 3 x} = 2 x$

Этап 8

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [e^{- 3 x} v] = 2 x$

Этап 9

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 3 x} v] d x = \int 2 x d x$

Этап 10

Проинтегрируем левую часть.

$e^{- 3 x} v = \int 2 x d x$

Этап 11

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$e^{- 3 x} v = 2 \int x d x$

Этап 11.2

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{- 3 x} v = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Этап 11.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Перепишем $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ в виде $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$e^{- 3 x} v = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Этап 11.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.2.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 3 x} v = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Этап 11.3.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$e^{- 3 x} v = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Этап 11.3.2.2.2

Перепишем это выражение.

$e^{- 3 x} v = 1 x^{2} + C$

Этап 11.3.2.3

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$e^{- 3 x} v = x^{2} + C$

Этап 12

Разделим каждый член $e^{- 3 x} v = x^{2} + C$ на $e^{- 3 x}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Разделим каждый член $e^{- 3 x} v = x^{2} + C$ на $e^{- 3 x}$ .

$\frac{e^{- 3 x} v}{e^{- 3 x}} = \frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Этап 12.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Сократим общий множитель $e^{- 3 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{- 3 x} v}{e^{- 3 x}} = \frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Этап 12.2.1.2

Разделим $v$ на $1$ .

$v = \frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Этап 13

Заменим все вхождения $v$ на $e^{4 y}$ .

$e^{4 y} = \frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Этап 14

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{4 y}) = \ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})$

Этап 14.2

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Развернем $\ln (e^{4 y})$ , вынося $4 y$ из логарифма.

$4 y \ln (e) = \ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})$

Этап 14.2.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$4 y \cdot 1 = \ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})$

Этап 14.2.3

Умножим $4$ на $1$ .

$4 y = \ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})$

Этап 14.3

Разделим каждый член $4 y = \ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1

Разделим каждый член $4 y = \ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})$ на $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{\ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})}{4}$

Этап 14.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 y}{4} = \frac{\ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})}{4}$

Этап 14.3.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})}{4}$