Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = 4 \cos (e^{2 x}) \sin (e^{2 x}) e^{2 x}$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = 4 \cos (e^{2 x}) \sin (e^{2 x}) e^{2 x} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int 4 \cos (e^{2 x}) \sin (e^{2 x}) e^{2 x} d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int 4 \cos (e^{2 x}) \sin (e^{2 x}) e^{2 x} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = 4 \int \cos (e^{2 x}) \sin (e^{2 x}) e^{2 x} d x$

Этап 2.3.2

Пусть $u_{3} = \cos (e^{2 x})$ . Тогда $d u_{3} = - 2 e^{2 x} \sin (e^{2 x}) d x$ , следовательно $- \frac{1}{2} d u_{3} = e^{2 x} \sin (e^{2 x}) d x$ . Перепишем, используя $u_{3}$ и $d$ $u_{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Пусть $u_{3} = \cos (e^{2 x})$ . Найдем $\frac{d u_{3}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Дифференцируем $\cos (e^{2 x})$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (e^{2 x})]$

Этап 2.3.2.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = e^{2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $e^{2 x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Этап 2.3.2.1.2.2

Производная $\cos (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Этап 2.3.2.1.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $e^{2 x}$ .

$- \sin (e^{2 x}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Этап 2.3.2.1.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $2 x$ .

$- \sin (e^{2 x}) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 2.3.2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ имеет вид $a^{u_{2}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$- \sin (e^{2 x}) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 2.3.2.1.3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $2 x$ .

$- \sin (e^{2 x}) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 2.3.2.1.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.4.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (e^{2 x}) (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 2.3.2.1.4.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 \sin (e^{2 x}) (e^{2 x} (\frac{d}{d x} [x]))$

Этап 2.3.2.1.4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 2 \sin (e^{2 x}) (e^{2 x} \cdot 1)$

Этап 2.3.2.1.4.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.4.4.1

Умножим $e^{2 x}$ на $1$ .

$- 2 \sin (e^{2 x}) e^{2 x}$

Этап 2.3.2.1.4.4.2

Изменим порядок множителей в $- 2 \sin (e^{2 x}) e^{2 x}$ .

$- 2 e^{2 x} \sin (e^{2 x})$

Этап 2.3.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{3}$ и $d u_{3}$ .

$y + C_{1} = 4 \int u_{3} \frac{1}{- 2} d u_{3}$

Этап 2.3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y + C_{1} = 4 \int u_{3} (- \frac{1}{2}) d u_{3}$

Этап 2.3.3.2

Объединим $u_{3}$ и $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = 4 \int - \frac{u_{3}}{2} d u_{3}$

Этап 2.3.4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{3}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = 4 (- \int \frac{u_{3}}{2} d u_{3})$

Этап 2.3.5

Умножим $- 1$ на $4$ .

$y + C_{1} = - 4 \int \frac{u_{3}}{2} d u_{3}$

Этап 2.3.6

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{3}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = - 4 (\frac{1}{2} \int u_{3} d u_{3})$

Этап 2.3.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 4$ .

$y + C_{1} = \frac{- 4}{2} \int u_{3} d u_{3}$

Этап 2.3.7.2

Сократим общий множитель $- 4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2} \int u_{3} d u_{3}$

Этап 2.3.7.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} \int u_{3} d u_{3}$

Этап 2.3.7.2.2.2

Сократим общий множитель.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} \int u_{3} d u_{3}$

Этап 2.3.7.2.2.3

Перепишем это выражение.

$y + C_{1} = \frac{- 2}{1} \int u_{3} d u_{3}$

Этап 2.3.7.2.2.4

Разделим $- 2$ на $1$ .

$y + C_{1} = - 2 \int u_{3} d u_{3}$

Этап 2.3.8

По правилу степени интеграл $u_{3}$ по $u_{3}$ имеет вид $\frac{1}{2} {u_{3}}^{2}$ .

$y + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2} {u_{3}}^{2} + C_{2})$

Этап 2.3.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.9.1

Перепишем $- 2 (\frac{1}{2} {u_{3}}^{2} + C_{2})$ в виде $- 2 (\frac{1}{2}) {u_{3}}^{2} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2}) {u_{3}}^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.9.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.9.2.1

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{- 2}{2} {u_{3}}^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.9.2.2

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.9.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2} {u_{3}}^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.9.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.9.2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} {u_{3}}^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.9.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} {u_{3}}^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.9.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$y + C_{1} = \frac{- 1}{1} {u_{3}}^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.9.2.2.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$y + C_{1} = - {u_{3}}^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.10

Заменим все вхождения $u_{3}$ на $\cos (e^{2 x})$ .

$y + C_{1} = - \cos^{2} (e^{2 x}) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = - \cos^{2} (e^{2 x}) + K$