Математический анализ Примеры

$\frac{d x}{d t} = (x - 1) (1 - 2 x)$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{(x - 1) (1 - 2 x)}$ .

$\frac{1}{(x - 1) (1 - 2 x)} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{(x - 1) (1 - 2 x)} ((x - 1) (1 - 2 x))$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $(x - 1) (1 - 2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{(x - 1) (1 - 2 x)} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{(x - 1) (1 - 2 x)} ((x - 1) (1 - 2 x))$

Этап 1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{(x - 1) (1 - 2 x)} \frac{d x}{d t} = 1$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{(x - 1) (1 - 2 x)} d x = 1 d t$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{(x - 1) (1 - 2 x)} d x = \int d t$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $A$ .

$\frac{A}{x - 1}$

Этап 2.2.1.1.2

$\frac{A}{x - 1} + \frac{B}{1 - 2 x}$

Этап 2.2.1.1.3

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $(x - 1) (1 - 2 x)$ .

$\frac{1 (x - 1) (1 - 2 x)}{(x - 1) (1 - 2 x)} = \frac{(A) (x - 1) (1 - 2 x)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (1 - 2 x)}{1 - 2 x}$

Этап 2.2.1.1.4

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (x - 1) (1 - 2 x)}{(x - 1) (1 - 2 x)} = \frac{(A) (x - 1) (1 - 2 x)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (1 - 2 x)}{1 - 2 x}$

Этап 2.2.1.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1 (1 - 2 x)}{1 - 2 x} = \frac{(A) (x - 1) (1 - 2 x)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (1 - 2 x)}{1 - 2 x}$

Этап 2.2.1.1.5

Сократим общий множитель $1 - 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (1 - 2 x)}{1 - 2 x} = \frac{(A) (x - 1) (1 - 2 x)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (1 - 2 x)}{1 - 2 x}$

Этап 2.2.1.1.5.2

Перепишем это выражение.

$1 = \frac{(A) (x - 1) (1 - 2 x)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (1 - 2 x)}{1 - 2 x}$

Этап 2.2.1.1.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.6.1

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.6.1.1

Сократим общий множитель.

$1 = \frac{A (x - 1) (1 - 2 x)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (1 - 2 x)}{1 - 2 x}$

Этап 2.2.1.1.6.1.2

Разделим $(A) (1 - 2 x)$ на $1$ .

$1 = (A) (1 - 2 x) + \frac{(B) (x - 1) (1 - 2 x)}{1 - 2 x}$

Этап 2.2.1.1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = A \cdot 1 + A (- 2 x) + \frac{(B) (x - 1) (1 - 2 x)}{1 - 2 x}$

Этап 2.2.1.1.6.3

Умножим $A$ на $1$ .

$1 = A + A (- 2 x) + \frac{(B) (x - 1) (1 - 2 x)}{1 - 2 x}$

Этап 2.2.1.1.6.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$1 = A - 2 A x + \frac{(B) (x - 1) (1 - 2 x)}{1 - 2 x}$

Этап 2.2.1.1.6.5

Сократим общий множитель $1 - 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.6.5.1

Сократим общий множитель.

$1 = A - 2 A x + \frac{(B) (x - 1) (1 - 2 x)}{1 - 2 x}$

Этап 2.2.1.1.6.5.2

Разделим $(B) (x - 1)$ на $1$ .

$1 = A - 2 A x + (B) (x - 1)$

Этап 2.2.1.1.6.6

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = A - 2 A x + B x + B \cdot - 1$

Этап 2.2.1.1.6.7

Перенесем $- 1$ влево от $B$ .

$1 = A - 2 A x + B x - 1 \cdot B$

Этап 2.2.1.1.6.8

Перепишем $- 1 B$ в виде $- B$ .

$1 = A - 2 A x + B x - B$

Этап 2.2.1.1.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.7.1

Перенесем $A$ .

$1 = A - 2 x A + B x - B$

Этап 2.2.1.1.7.2

Изменим порядок $B$ и $x$ .

$1 = A - 2 x A + B x - B$

Этап 2.2.1.1.7.3

Перенесем $A$ .

$1 = - 2 x A + B x + A - B$

Этап 2.2.1.2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = - 2 A + B$

Этап 2.2.1.2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = A - 1 B$

Этап 2.2.1.2.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$0 = - 2 A + B$

$1 = A - 1 B$

$0 = - 2 A + B$

$1 = A - 1 B$

Этап 2.2.1.3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1

Решим относительно $B$ в $0 = - 2 A + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1.1

Перепишем уравнение в виде $- 2 A + B = 0$ .

$- 2 A + B = 0$

$1 = A - 1 B$

Этап 2.2.1.3.1.2

Добавим $2 A$ к обеим частям уравнения.

$B = 2 A$

$1 = A - 1 B$

$B = 2 A$

$1 = A - 1 B$

Этап 2.2.1.3.2

Заменим все вхождения $B$ на $2 A$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.2.1

Заменим все вхождения $B$ в $1 = A - 1 B$ на $2 A$ .

$1 = A - 1 (2 A)$

$B = 2 A$

Этап 2.2.1.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.2.2.1

Упростим $A - 1 (2 A)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.2.2.1.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$1 = A - 2 A$

$B = 2 A$

Этап 2.2.1.3.2.2.1.2

Вычтем $2 A$ из $A$ .

$1 = - A$

$B = 2 A$

$1 = - A$

$B = 2 A$

$1 = - A$

$B = 2 A$

$1 = - A$

$B = 2 A$

Этап 2.2.1.3.3

Решим относительно $A$ в $1 = - A$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.3.1

Перепишем уравнение в виде $- A = 1$ .

$- A = 1$

$B = 2 A$

Этап 2.2.1.3.3.2

Разделим каждый член $- A = 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.3.2.1

Разделим каждый член $- A = 1$ на $- 1$ .

$\frac{- A}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

$B = 2 A$

Этап 2.2.1.3.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.3.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{A}{1} = \frac{1}{- 1}$

$B = 2 A$

Этап 2.2.1.3.3.2.2.2

Разделим $A$ на $1$ .

$A = \frac{1}{- 1}$

$B = 2 A$

$A = \frac{1}{- 1}$

$B = 2 A$

Этап 2.2.1.3.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.3.2.3.1

Разделим $1$ на $- 1$ .

$A = - 1$

$B = 2 A$

$A = - 1$

$B = 2 A$

$A = - 1$

$B = 2 A$

$A = - 1$

$B = 2 A$

Этап 2.2.1.3.4

Заменим все вхождения $A$ на $- 1$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.4.1

Заменим все вхождения $A$ в $B = 2 A$ на $- 1$ .

$B = 2 (- 1)$

$A = - 1$

Этап 2.2.1.3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.4.2.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$B = - 2$

$A = - 1$

$B = - 2$

$A = - 1$

$B = - 2$

$A = - 1$

Этап 2.2.1.3.5

Перечислим все решения.

$B = - 2, A = - 1$

Этап 2.2.1.4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{x - 1} + \frac{B}{1 - 2 x}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$\frac{- 1}{x - 1} + \frac{- 2}{1 - 2 x}$

Этап 2.2.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.5.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{x - 1} + \frac{- 2}{1 - 2 x}$

Этап 2.2.1.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int - \frac{1}{x - 1} - \frac{2}{1 - 2 x} d x = \int d t$

Этап 2.2.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int - \frac{1}{x - 1} d x + \int - \frac{2}{1 - 2 x} d x = \int d t$

Этап 2.2.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{1}{x - 1} d x + \int - \frac{2}{1 - 2 x} d x = \int d t$

Этап 2.2.4

Пусть $u_{1} = x - 1$ . Тогда $d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Пусть $u_{1} = x - 1$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1.1

Дифференцируем $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Этап 2.2.4.1.2

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.2.4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.2.4.1.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 2.2.4.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 2.2.4.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$- \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{2}{1 - 2 x} d x = \int d t$

Этап 2.2.5

Интеграл $\frac{1}{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $\ln (| u_{1} |)$ .

$- (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) + \int - \frac{2}{1 - 2 x} d x = \int d t$

Этап 2.2.6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) - \int \frac{2}{1 - 2 x} d x = \int d t$

Этап 2.2.7

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$- (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) - (2 \int \frac{1}{1 - 2 x} d x) = \int d t$

Этап 2.2.8

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) - 2 \int \frac{1}{1 - 2 x} d x = \int d t$

Этап 2.2.9

Пусть $u_{2} = 1 - 2 x$ . Тогда $d u_{2} = - 2 d x$ , следовательно $- \frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.9.1

Пусть $u_{2} = 1 - 2 x$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.9.1.1

Дифференцируем $1 - 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

Этап 2.2.9.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.9.1.2.1

По правилу суммы производная $1 - 2 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Этап 2.2.9.1.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Этап 2.2.9.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.9.1.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.2.9.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 - 2 \cdot 1$

Этап 2.2.9.1.3.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$0 - 2$

Этап 2.2.9.1.4

Вычтем $2$ из $0$ .

$- 2$

Этап 2.2.9.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$- (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) - 2 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{- 2} d u_{2} = \int d t$

Этап 2.2.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.10.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) - 2 \int \frac{1}{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2} = \int d t$

Этап 2.2.10.2

Умножим $\frac{1}{u_{2}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$- (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) - 2 \int - \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2} = \int d t$

Этап 2.2.10.3

Перенесем $2$ влево от $u_{2}$ .

$- (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) - 2 \int - \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2} = \int d t$

Этап 2.2.11

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) - 2 (- \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}) = \int d t$

Этап 2.2.12

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$- (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) + 2 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2} = \int d t$

Этап 2.2.13

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$- (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) + 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}) = \int d t$

Этап 2.2.14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.14.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$- (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) + \frac{2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d t$

Этап 2.2.14.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.14.2.1

Сократим общий множитель.

$- (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) + \frac{2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d t$

Этап 2.2.14.2.2

Перепишем это выражение.

$- (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) + 1 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d t$

Этап 2.2.14.3

Умножим $\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$ на $1$ .

$- (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) + \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d t$

Этап 2.2.15

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$- (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) + \ln (| u_{2} |) + C_{2} = \int d t$

Этап 2.2.16

Упростим.

$- \ln (| u_{1} |) + \ln (| u_{2} |) + C_{3} = \int d t$

Этап 2.2.17

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.17.1

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x - 1$ .

$- \ln (| x - 1 |) + \ln (| u_{2} |) + C_{3} = \int d t$

Этап 2.2.17.2

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $1 - 2 x$ .

$- \ln (| x - 1 |) + \ln (| 1 - 2 x |) + C_{3} = \int d t$

Этап 2.2.18

Изменим порядок членов.

$\ln (| 1 - 2 x |) - \ln (| x - 1 |) + C_{3} = \int d t$

Этап 2.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\ln (| 1 - 2 x |) - \ln (| x - 1 |) + C_{3} = t + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| 1 - 2 x |) - \ln (| x - 1 |) = t + C$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 1 - 2 x |}{| x - 1 |}) = t + C$

Этап 3.2

Изменим порядок $t$ и $C$ .

$\ln (\frac{| 1 - 2 x |}{| x - 1 |}) = C + t$

Этап 3.3

Чтобы решить относительно $x$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (\frac{| 1 - 2 x |}{| x - 1 |})} = e^{C + t}$

Этап 3.4

Перепишем $\ln (\frac{| 1 - 2 x |}{| x - 1 |}) = C + t$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{C + t} = \frac{| 1 - 2 x |}{| x - 1 |}$

Этап 3.5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{| 1 - 2 x |}{| x - 1 |} = e^{C + t}$ .

$\frac{| 1 - 2 x |}{| x - 1 |} = e^{C + t}$

Этап 3.5.2

Умножим обе части на $| x - 1 |$ .

$\frac{| 1 - 2 x |}{| x - 1 |} | x - 1 | = e^{C + t} | x - 1 |$

Этап 3.5.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Сократим общий множитель $| x - 1 |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{| 1 - 2 x |}{| x - 1 |} | x - 1 | = e^{C + t} | x - 1 |$

Этап 3.5.3.1.2

Перепишем это выражение.

$| 1 - 2 x | = e^{C + t} | x - 1 |$

Этап 3.5.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1

Перепишем уравнение в виде $e^{C + t} | x - 1 | = | 1 - 2 x |$ .

$e^{C + t} | x - 1 | = | 1 - 2 x |$

Этап 3.5.4.2

Разделим каждый член $e^{C + t} | x - 1 | = | 1 - 2 x |$ на $e^{C + t}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.2.1

Разделим каждый член $e^{C + t} | x - 1 | = | 1 - 2 x |$ на $e^{C + t}$ .

$\frac{e^{C + t} | x - 1 |}{e^{C + t}} = \frac{| 1 - 2 x |}{e^{C + t}}$

Этап 3.5.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.2.2.1

Сократим общий множитель $e^{C + t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{C + t} | x - 1 |}{e^{C + t}} = \frac{| 1 - 2 x |}{e^{C + t}}$

Этап 3.5.4.2.2.1.2

Разделим $| x - 1 |$ на $1$ .

$| x - 1 | = \frac{| 1 - 2 x |}{e^{C + t}}$

Этап 3.5.4.3

Перепишем это уравнение абсолютного значения в виде четырех уравнений без знаков модуля.

$x - 1 = \frac{1 - 2 x}{e^{C + t}}$

$x - 1 = - \frac{1 - 2 x}{e^{C + t}}$

$- (x - 1) = \frac{1 - 2 x}{e^{C + t}}$

$- (x - 1) = - \frac{1 - 2 x}{e^{C + t}}$

Этап 3.5.4.4

После упрощения остается решить только два уникальных уравнения.

$x - 1 = \frac{1 - 2 x}{e^{C + t}}$

$x - 1 = - \frac{1 - 2 x}{e^{C + t}}$

Этап 3.5.4.5

Решим $x - 1 = \frac{1 - 2 x}{e^{C + t}}$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.5.1

Умножим обе части на $e^{C + t}$ .

$(x - 1) e^{C + t} = \frac{1 - 2 x}{e^{C + t}} e^{C + t}$

Этап 3.5.4.5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.5.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.5.2.1.1

Упростим $(x - 1) e^{C + t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.5.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x e^{C + t} - 1 e^{C + t} = \frac{1 - 2 x}{e^{C + t}} e^{C + t}$

Этап 3.5.4.5.2.1.1.2

Перепишем $- 1 e^{C + t}$ в виде $- e^{C + t}$ .

$x e^{C + t} - e^{C + t} = \frac{1 - 2 x}{e^{C + t}} e^{C + t}$

Этап 3.5.4.5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.5.2.2.1

Упростим $\frac{1 - 2 x}{e^{C + t}} e^{C + t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель $e^{C + t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.5.2.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$x e^{C + t} - e^{C + t} = \frac{1 - 2 x}{e^{C + t}} e^{C + t}$

Этап 3.5.4.5.2.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x e^{C + t} - e^{C + t} = 1 - 2 x$

Этап 3.5.4.5.2.2.1.2

Изменим порядок $1$ и $- 2 x$ .

$x e^{C + t} - e^{C + t} = - 2 x + 1$

Этап 3.5.4.5.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.5.3.1

Добавим $2 x$ к обеим частям уравнения.

$x e^{C + t} - e^{C + t} + 2 x = 1$

Этап 3.5.4.5.3.2

Добавим $e^{C + t}$ к обеим частям уравнения.

$x e^{C + t} + 2 x = 1 + e^{C + t}$

Этап 3.5.4.5.3.3

Вынесем множитель $x$ из $x e^{C + t} + 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.5.3.3.1

Вынесем множитель $x$ из $x e^{C + t}$ .

$x e^{C + t} + 2 x = 1 + e^{C + t}$

Этап 3.5.4.5.3.3.2

Вынесем множитель $x$ из $2 x$ .

$x e^{C + t} + x \cdot 2 = 1 + e^{C + t}$

Этап 3.5.4.5.3.3.3

Вынесем множитель $x$ из $x e^{C + t} + x \cdot 2$ .

$x (e^{C + t} + 2) = 1 + e^{C + t}$

Этап 3.5.4.5.3.4

Разделим каждый член $x (e^{C + t} + 2) = 1 + e^{C + t}$ на $e^{C + t} + 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.5.3.4.1

Разделим каждый член $x (e^{C + t} + 2) = 1 + e^{C + t}$ на $e^{C + t} + 2$ .

$\frac{x (e^{C + t} + 2)}{e^{C + t} + 2} = \frac{1}{e^{C + t} + 2} + \frac{e^{C + t}}{e^{C + t} + 2}$

Этап 3.5.4.5.3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.5.3.4.2.1

Сократим общий множитель $e^{C + t} + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.5.3.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x (e^{C + t} + 2)}{e^{C + t} + 2} = \frac{1}{e^{C + t} + 2} + \frac{e^{C + t}}{e^{C + t} + 2}$

Этап 3.5.4.5.3.4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{e^{C + t} + 2} + \frac{e^{C + t}}{e^{C + t} + 2}$

Этап 3.5.4.5.3.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.5.3.4.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{1 + e^{C + t}}{e^{C + t} + 2}$

Этап 3.5.4.6

Решим $x - 1 = - \frac{1 - 2 x}{e^{C + t}}$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.6.1

Умножим обе части на $e^{C + t}$ .

$(x - 1) e^{C + t} = - \frac{1 - 2 x}{e^{C + t}} e^{C + t}$

Этап 3.5.4.6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.6.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.6.2.1.1

Упростим $(x - 1) e^{C + t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.6.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x e^{C + t} - 1 e^{C + t} = - \frac{1 - 2 x}{e^{C + t}} e^{C + t}$

Этап 3.5.4.6.2.1.1.2

Перепишем $- 1 e^{C + t}$ в виде $- e^{C + t}$ .

$x e^{C + t} - e^{C + t} = - \frac{1 - 2 x}{e^{C + t}} e^{C + t}$

Этап 3.5.4.6.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.6.2.2.1

Упростим $- \frac{1 - 2 x}{e^{C + t}} e^{C + t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.6.2.2.1.1

Сократим общий множитель $e^{C + t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.6.2.2.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1 - 2 x}{e^{C + t}}$ в числитель.

$x e^{C + t} - e^{C + t} = \frac{- (1 - 2 x)}{e^{C + t}} e^{C + t}$

Этап 3.5.4.6.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$x e^{C + t} - e^{C + t} = \frac{- (1 - 2 x)}{e^{C + t}} e^{C + t}$

Этап 3.5.4.6.2.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$x e^{C + t} - e^{C + t} = - (1 - 2 x)$

Этап 3.5.4.6.2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x e^{C + t} - e^{C + t} = - 1 \cdot 1 - (- 2 x)$

Этап 3.5.4.6.2.2.1.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.6.2.2.1.3.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$x e^{C + t} - e^{C + t} = - 1 - (- 2 x)$

Этап 3.5.4.6.2.2.1.3.2

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$x e^{C + t} - e^{C + t} = - 1 + 2 x$

Этап 3.5.4.6.2.2.1.3.3

Изменим порядок $- 1$ и $2 x$ .

$x e^{C + t} - e^{C + t} = 2 x - 1$

Этап 3.5.4.6.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.6.3.1

Вычтем $2 x$ из обеих частей уравнения.

$x e^{C + t} - e^{C + t} - 2 x = - 1$

Этап 3.5.4.6.3.2

Добавим $e^{C + t}$ к обеим частям уравнения.

$x e^{C + t} - 2 x = - 1 + e^{C + t}$

Этап 3.5.4.6.3.3

Вынесем множитель $x$ из $x e^{C + t} - 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.6.3.3.1

Вынесем множитель $x$ из $x e^{C + t}$ .

$x e^{C + t} - 2 x = - 1 + e^{C + t}$

Этап 3.5.4.6.3.3.2

Вынесем множитель $x$ из $- 2 x$ .

$x e^{C + t} + x \cdot - 2 = - 1 + e^{C + t}$

Этап 3.5.4.6.3.3.3

Вынесем множитель $x$ из $x e^{C + t} + x \cdot - 2$ .

$x (e^{C + t} - 2) = - 1 + e^{C + t}$

Этап 3.5.4.6.3.4

Разделим каждый член $x (e^{C + t} - 2) = - 1 + e^{C + t}$ на $e^{C + t} - 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.6.3.4.1

Разделим каждый член $x (e^{C + t} - 2) = - 1 + e^{C + t}$ на $e^{C + t} - 2$ .

$\frac{x (e^{C + t} - 2)}{e^{C + t} - 2} = \frac{- 1}{e^{C + t} - 2} + \frac{e^{C + t}}{e^{C + t} - 2}$

Этап 3.5.4.6.3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.6.3.4.2.1

Сократим общий множитель $e^{C + t} - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.6.3.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x (e^{C + t} - 2)}{e^{C + t} - 2} = \frac{- 1}{e^{C + t} - 2} + \frac{e^{C + t}}{e^{C + t} - 2}$

Этап 3.5.4.6.3.4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{e^{C + t} - 2} + \frac{e^{C + t}}{e^{C + t} - 2}$

Этап 3.5.4.6.3.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.6.3.4.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{- 1 + e^{C + t}}{e^{C + t} - 2}$

Этап 3.5.4.6.3.4.3.2

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 (1) + e^{C + t}}{e^{C + t} - 2}$

Этап 3.5.4.6.3.4.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $e^{C + t}$ .

$x = \frac{- 1 (1) - 1 (- e^{C + t})}{e^{C + t} - 2}$

Этап 3.5.4.6.3.4.3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - 1 (- e^{C + t})$ .

$x = \frac{- 1 (1 - e^{C + t})}{e^{C + t} - 2}$

Этап 3.5.4.6.3.4.3.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1 - e^{C + t}}{e^{C + t} - 2}$

Этап 3.5.4.7

Перечислим все решения.

$x = \frac{1 + e^{C + t}}{e^{C + t} + 2}$

$x = - \frac{1 - e^{C + t}}{e^{C + t} - 2}$

$x = \frac{1 + e^{C + t}}{e^{C + t} + 2}$

$x = - \frac{1 - e^{C + t}}{e^{C + t} - 2}$

$x = \frac{1 + e^{C + t}}{e^{C + t} + 2}$

$x = - \frac{1 - e^{C + t}}{e^{C + t} - 2}$

$x = \frac{1 + e^{C + t}}{e^{C + t} + 2}$

$x = - \frac{1 - e^{C + t}}{e^{C + t} - 2}$

Этап 4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Изменим порядок членов.

$x = \frac{1 + e^{t + C}}{e^{C + t} + 2}$

$x = - \frac{1 - e^{C + t}}{e^{C + t} - 2}$

Этап 4.2

Перепишем $e^{t + C}$ в виде $e^{t} e^{C}$ .

$x = \frac{1 + e^{t} e^{C}}{e^{C + t} + 2}$

$x = - \frac{1 - e^{C + t}}{e^{C + t} - 2}$

Этап 4.3

Изменим порядок $e^{t}$ и $e^{C}$ .

$x = \frac{1 + e^{C} e^{t}}{e^{C + t} + 2}$

$x = - \frac{1 - e^{C + t}}{e^{C + t} - 2}$

Этап 4.4

Изменим порядок членов.

$x = \frac{1 + e^{C} e^{t}}{e^{t + C} + 2}$

$x = - \frac{1 - e^{C + t}}{e^{C + t} - 2}$

Этап 4.5

Перепишем $e^{t + C}$ в виде $e^{t} e^{C}$ .

$x = \frac{1 + e^{C} e^{t}}{e^{t} e^{C} + 2}$

$x = - \frac{1 - e^{C + t}}{e^{C + t} - 2}$

Этап 4.6

Изменим порядок $e^{t}$ и $e^{C}$ .

$x = \frac{1 + e^{C} e^{t}}{e^{C} e^{t} + 2}$

$x = - \frac{1 - e^{C + t}}{e^{C + t} - 2}$

Этап 4.7

Изменим порядок членов.

$x = \frac{1 + e^{C} e^{t}}{e^{C} e^{t} + 2}$

$x = - \frac{1 - e^{t + C}}{e^{C + t} - 2}$

Этап 4.8

Перепишем $e^{t + C}$ в виде $e^{t} e^{C}$ .

$x = \frac{1 + e^{C} e^{t}}{e^{C} e^{t} + 2}$

$x = - \frac{1 - (e^{t} e^{C})}{e^{C + t} - 2}$

Этап 4.9

Изменим порядок $e^{t}$ и $e^{C}$ .

$x = \frac{1 + e^{C} e^{t}}{e^{C} e^{t} + 2}$

$x = - \frac{1 - (e^{C} e^{t})}{e^{C + t} - 2}$

Этап 4.10

Изменим порядок членов.

$x = \frac{1 + e^{C} e^{t}}{e^{C} e^{t} + 2}$

$x = - \frac{1 - (e^{C} e^{t})}{e^{t + C} - 2}$

Этап 4.11

Перепишем $e^{t + C}$ в виде $e^{t} e^{C}$ .

$x = \frac{1 + e^{C} e^{t}}{e^{C} e^{t} + 2}$

$x = - \frac{1 - (e^{C} e^{t})}{e^{t} e^{C} - 2}$

Этап 4.12

Изменим порядок $e^{t}$ и $e^{C}$ .

$x = \frac{1 + e^{C} e^{t}}{e^{C} e^{t} + 2}$

$x = - \frac{1 - (e^{C} e^{t})}{e^{C} e^{t} - 2}$

$x = \frac{1 + e^{C} e^{t}}{e^{C} e^{t} + 2}$

$x = - \frac{1 - (e^{C} e^{t})}{e^{C} e^{t} - 2}$