Математический анализ Примеры

$69 x d y + 420 y d x = 0$

Этап 1

Вычтем $420 y d x$ из обеих частей уравнения.

$69 x d y = - 420 y d x$

Этап 2

Умножим обе части на $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{1}{x y} (69 x) d y = \frac{1}{x y} (- 420 y) d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$69 \frac{1}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- 420 y) d x$

Этап 3.2

Объединим $69$ и $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{69}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- 420 y) d x$

Этап 3.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вынесем множитель $x$ из $x y$ .

$\frac{69}{x (y)} x d y = \frac{1}{x y} (- 420 y) d x$

Этап 3.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{69}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- 420 y) d x$

Этап 3.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{69}{y} d y = \frac{1}{x y} (- 420 y) d x$

Этап 3.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{69}{y} d y = - 420 \frac{1}{x y} y d x$

Этап 3.5

Объединим $- 420$ и $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{69}{y} d y = \frac{- 420}{x y} y d x$

Этап 3.6

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Вынесем множитель $y$ из $x y$ .

$\frac{69}{y} d y = \frac{- 420}{y x} y d x$

Этап 3.6.2

Сократим общий множитель.

$\frac{69}{y} d y = \frac{- 420}{y x} y d x$

Этап 3.6.3

Перепишем это выражение.

$\frac{69}{y} d y = \frac{- 420}{x} d x$

Этап 3.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{69}{y} d y = - \frac{420}{x} d x$

Этап 4

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{69}{y} d y = \int - \frac{420}{x} d x$

Этап 4.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Поскольку $69$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $69$ из-под знака интеграла.

$69 \int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{420}{x} d x$

Этап 4.2.2

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$69 (\ln (| y |) + C_{1}) = \int - \frac{420}{x} d x$

Этап 4.2.3

Упростим.

$69 \ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{420}{x} d x$

Этап 4.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$69 \ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{420}{x} d x$

Этап 4.3.2

Поскольку $420$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $420$ из-под знака интеграла.

$69 \ln (| y |) + C_{1} = - (420 \int \frac{1}{x} d x)$

Этап 4.3.3

Умножим $420$ на $- 1$ .

$69 \ln (| y |) + C_{1} = - 420 \int \frac{1}{x} d x$

Этап 4.3.4

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$69 \ln (| y |) + C_{1} = - 420 (\ln (| x |) + C_{2})$

Этап 4.3.5

Упростим.

$69 \ln (| y |) + C_{1} = - 420 \ln (| x |) + C_{2}$

Этап 4.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$69 \ln (| y |) = - 420 \ln (| x |) + C$

Этап 5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$69 \ln (| y |) + 420 \ln (| x |) = C$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим $69 \ln (| y |) + 420 \ln (| x |)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Упростим $69 \ln (| y |)$ путем переноса $69$ под логарифм.

$\ln ({| y |}^{69}) + 420 \ln (| x |) = C$

Этап 5.2.1.1.2

Упростим $420 \ln (| x |)$ путем переноса $420$ под логарифм.

$\ln ({| y |}^{69}) + \ln ({| x |}^{420}) = C$

Этап 5.2.1.1.3

Уберем знак модуля в ${| x |}^{420}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$\ln ({| y |}^{69}) + \ln (x^{420}) = C$

Этап 5.2.1.2

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ({| y |}^{69} x^{420}) = C$

Этап 5.2.1.3

Изменим порядок множителей в $\ln ({| y |}^{69} x^{420})$ .

$\ln (x^{420} {| y |}^{69}) = C$

Этап 5.3

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (x^{420} {| y |}^{69})} = e^{C}$

Этап 5.4

Перепишем $\ln (x^{420} {| y |}^{69}) = C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{C} = x^{420} {| y |}^{69}$

Этап 5.5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Перепишем уравнение в виде $x^{420} {| y |}^{69} = e^{C}$ .

$x^{420} {| y |}^{69} = e^{C}$

Этап 5.5.2

Разделим каждый член $x^{420} {| y |}^{69} = e^{C}$ на $x^{420}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Разделим каждый член $x^{420} {| y |}^{69} = e^{C}$ на $x^{420}$ .

$\frac{x^{420} {| y |}^{69}}{x^{420}} = \frac{e^{C}}{x^{420}}$

Этап 5.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.1

Сократим общий множитель $x^{420}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{420} {| y |}^{69}}{x^{420}} = \frac{e^{C}}{x^{420}}$

Этап 5.5.2.2.1.2

Разделим ${| y |}^{69}$ на $1$ .

${| y |}^{69} = \frac{e^{C}}{x^{420}}$

Этап 5.5.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$| y | = \sqrt[69]{\frac{e^{C}}{x^{420}}}$

Этап 5.5.4

Упростим $\sqrt[69]{\frac{e^{C}}{x^{420}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.1

Перепишем $\frac{e^{C}}{x^{420}}$ в виде ${(\frac{1}{x^{6}})}^{69} \frac{e^{C}}{x^{6}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.1.1

Вынесем полную степень $1^{69}$ из $e^{C}$ .

$| y | = \sqrt[69]{\frac{1^{69} e^{C}}{x^{420}}}$

Этап 5.5.4.1.2

Вынесем полную степень ${(x^{6})}^{69}$ из $x^{420}$ .

$| y | = \sqrt[69]{\frac{1^{69} e^{C}}{{(x^{6})}^{69} x^{6}}}$

Этап 5.5.4.1.3

Перегруппируем дробь $\frac{1^{69} e^{C}}{{(x^{6})}^{69} x^{6}}$ .

$| y | = \sqrt[69]{{(\frac{1}{x^{6}})}^{69} \frac{e^{C}}{x^{6}}}$

Этап 5.5.4.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$| y | = \frac{1}{x^{6}} \sqrt[69]{\frac{e^{C}}{x^{6}}}$

Этап 5.5.4.3

Перепишем $\sqrt[69]{\frac{e^{C}}{x^{6}}}$ в виде $\frac{\sqrt[69]{e^{C}}}{\sqrt[69]{x^{6}}}$ .

$| y | = \frac{1}{x^{6}} \cdot \frac{\sqrt[69]{e^{C}}}{\sqrt[69]{x^{6}}}$

Этап 5.5.4.4

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.4.1

Объединим.

$| y | = \frac{1 \sqrt[69]{e^{C}}}{x^{6} \sqrt[69]{x^{6}}}$

Этап 5.5.4.4.2

Умножим $\sqrt[69]{e^{C}}$ на $1$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}}}{x^{6} \sqrt[69]{x^{6}}}$

Этап 5.5.4.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.5.1

Перепишем $x^{6}$ в виде ${(x^{2})}^{3}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}}}{x^{6} \sqrt[69]{{(x^{2})}^{3}}}$

Этап 5.5.4.5.2

Перепишем $\sqrt[69]{{(x^{2})}^{3}}$ в виде $\sqrt[23]{\sqrt[3]{{(x^{2})}^{3}}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}}}{x^{6} \sqrt[23]{\sqrt[3]{{(x^{2})}^{3}}}}$

Этап 5.5.4.5.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}}}{x^{6} \sqrt[23]{x^{2}}}$

Этап 5.5.4.6

Умножим $\frac{\sqrt[69]{e^{C}}}{x^{6} \sqrt[23]{x^{2}}}$ на $\frac{{\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{{\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}}}{x^{6} \sqrt[23]{x^{2}}} \cdot \frac{{\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{{\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}$

Этап 5.5.4.7

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.7.1

Умножим $\frac{\sqrt[69]{e^{C}}}{x^{6} \sqrt[23]{x^{2}}}$ на $\frac{{\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{{\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} \sqrt[23]{x^{2}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}$

Этап 5.5.4.7.2

Перенесем $\sqrt[23]{x^{2}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} (\sqrt[23]{x^{2}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22})}$

Этап 5.5.4.7.3

Возведем $\sqrt[23]{x^{2}}$ в степень $1$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} ({\sqrt[23]{x^{2}}}^{1} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22})}$

Этап 5.5.4.7.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{1 + 22}}$

Этап 5.5.4.7.5

Добавим $1$ и $22$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{23}}$

Этап 5.5.4.7.6

Перепишем ${\sqrt[23]{x^{2}}}^{23}$ в виде $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.7.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[23]{x^{2}}$ в виде $x^{\frac{2}{23}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} {(x^{\frac{2}{23}})}^{23}}$

Этап 5.5.4.7.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} x^{\frac{2}{23} \cdot 23}}$

Этап 5.5.4.7.6.3

Объединим $\frac{2}{23}$ и $23$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} x^{\frac{2 \cdot 23}{23}}}$

Этап 5.5.4.7.6.4

Умножим $2$ на $23$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} x^{\frac{46}{23}}}$

Этап 5.5.4.7.6.5

Сократим общий множитель $46$ и $23$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.7.6.5.1

Вынесем множитель $23$ из $46$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} x^{\frac{23 \cdot 2}{23}}}$

Этап 5.5.4.7.6.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.7.6.5.2.1

Вынесем множитель $23$ из $23$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} x^{\frac{23 \cdot 2}{23 (1)}}}$

Этап 5.5.4.7.6.5.2.2

Сократим общий множитель.

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} x^{\frac{23 \cdot 2}{23 \cdot 1}}}$

Этап 5.5.4.7.6.5.2.3

Перепишем это выражение.

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} x^{\frac{2}{1}}}$

Этап 5.5.4.7.6.5.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} x^{2}}$

Этап 5.5.4.8

Умножим $x^{6}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.8.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6 + 2}}$

Этап 5.5.4.8.2

Добавим $6$ и $2$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{8}}$

Этап 5.5.4.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.9.1

Перепишем ${\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}$ в виде $\sqrt[23]{{(x^{2})}^{22}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} \sqrt[23]{{(x^{2})}^{22}}}{x^{8}}$

Этап 5.5.4.9.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{22}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.9.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} \sqrt[23]{x^{2 \cdot 22}}}{x^{8}}$

Этап 5.5.4.9.2.2

Умножим $2$ на $22$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} \sqrt[23]{x^{44}}}{x^{8}}$

Этап 5.5.4.9.3

Вынесем $x^{23}$ за скобки.

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} \sqrt[23]{x^{23} x^{21}}}{x^{8}}$

Этап 5.5.4.9.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} x \sqrt[23]{x^{21}}}{x^{8}}$

Этап 5.5.4.9.5

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.9.5.1

Перепишем это выражение, используя наименьший общий индекс $69$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.9.5.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[23]{x^{21}}$ в виде $x^{\frac{21}{23}}$ .

$| y | = \frac{x (\sqrt[69]{e^{C}} x^{\frac{21}{23}})}{x^{8}}$

Этап 5.5.4.9.5.1.2

Перепишем $x^{\frac{21}{23}}$ в виде $x^{\frac{63}{69}}$ .

$| y | = \frac{x (\sqrt[69]{e^{C}} x^{\frac{63}{69}})}{x^{8}}$

Этап 5.5.4.9.5.1.3

Перепишем $x^{\frac{63}{69}}$ в виде $\sqrt[69]{x^{63}}$ .

$| y | = \frac{x (\sqrt[69]{e^{C}} \sqrt[69]{x^{63}})}{x^{8}}$

Этап 5.5.4.9.5.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$| y | = \frac{x \sqrt[69]{e^{C} x^{63}}}{x^{8}}$

Этап 5.5.4.10

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.10.1

Сократим общий множитель $x$ и $x^{8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.10.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x \sqrt[69]{e^{C} x^{63}}$ .

$| y | = \frac{x \sqrt[69]{e^{C} x^{63}}}{x^{8}}$

Этап 5.5.4.10.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.10.1.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{8}$ .

$| y | = \frac{x \sqrt[69]{e^{C} x^{63}}}{x \cdot x^{7}}$

Этап 5.5.4.10.1.2.2

Сократим общий множитель.

$| y | = \frac{x \sqrt[69]{e^{C} x^{63}}}{x \cdot x^{7}}$

Этап 5.5.4.10.1.2.3

Перепишем это выражение.

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C} x^{63}}}{x^{7}}$

Этап 5.5.4.10.2

Изменим порядок множителей в $\frac{\sqrt[69]{e^{C} x^{63}}}{x^{7}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{x^{63} e^{C}}}{x^{7}}$

Этап 5.5.5

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[69]{x^{63} e^{C}}}{x^{7}}$

Этап 6

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \pm \frac{\sqrt[69]{x^{63} C}}{x^{7}}$