Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = x^{3} - 2 x y$

Этап 1

Добавим $2 x y$ к обеим частям уравнения.

$\frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{3}$

Этап 2

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int 2 x d x}$

Этап 2.2

Проинтегрируем $2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$e^{2 \int x d x}$

Этап 2.2.2

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

Этап 2.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Перепишем $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ в виде $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$e^{2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C}$

Этап 2.2.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{2}{2} x^{2} + C}$

Этап 2.2.3.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$e^{\frac{2}{2} x^{2} + C}$

Этап 2.2.3.2.2.2

Перепишем это выражение.

$e^{1 x^{2} + C}$

Этап 2.2.3.2.3

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$e^{x^{2} + C}$

Этап 2.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{x^{2}}$

Этап 3

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $e^{x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член на $e^{x^{2}}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + e^{x^{2}} (2 x y) = e^{x^{2}} x^{3}$

Этап 3.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = e^{x^{2}} x^{3}$

Этап 3.3

Изменим порядок множителей в $e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = e^{x^{2}} x^{3}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 x y e^{x^{2}} = x^{3} e^{x^{2}}$

Этап 4

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}} y] = x^{3} e^{x^{2}}$

Этап 5

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x^{2}} y] d x = \int x^{3} e^{x^{2}} d x$

Этап 6

Проинтегрируем левую часть.

$e^{x^{2}} y = \int x^{3} e^{x^{2}} d x$

Этап 7

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Пусть $u = x^{2}$ . Тогда $d u = 2 x d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Пусть $u = x^{2}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.1

Дифференцируем $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 7.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x$

Этап 7.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$e^{x^{2}} y = \int u e^{u} \frac{1}{2} d u$

Этап 7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $u$ .

$e^{x^{2}} y = \int \frac{u}{2} e^{u} d u$

Этап 7.2.2

Объединим $\frac{u}{2}$ и $e^{u}$ .

$e^{x^{2}} y = \int \frac{u e^{u}}{2} d u$

Этап 7.3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} \int u e^{u} d u$

Этап 7.4

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int w d v = w v - \int v d w$ , где $w = u$ и $dv = e^{u}$ .

$e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} (u e^{u} - \int e^{u} d u)$

Этап 7.5

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} (u e^{u} - (e^{u} + C))$

Этап 7.6

Упростим.

$e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} (u e^{u} - e^{u}) + C$

Этап 7.7

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} (x^{2} e^{x^{2}} - e^{x^{2}}) + C$

Этап 7.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} (x^{2} e^{x^{2}}) + \frac{1}{2} (- e^{x^{2}}) + C$

Этап 7.8.2

Умножим $\frac{1}{2} (x^{2} e^{x^{2}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.2.1

Объединим $x^{2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$e^{x^{2}} y = \frac{x^{2}}{2} e^{x^{2}} + \frac{1}{2} (- e^{x^{2}}) + C$

Этап 7.8.2.2

Объединим $\frac{x^{2}}{2}$ и $e^{x^{2}}$ .

$e^{x^{2}} y = \frac{x^{2} e^{x^{2}}}{2} + \frac{1}{2} (- e^{x^{2}}) + C$

Этап 7.8.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $e^{x^{2}}$ .

$e^{x^{2}} y = \frac{x^{2} e^{x^{2}}}{2} - \frac{e^{x^{2}}}{2} + C$

Этап 7.9

Изменим порядок членов.

$e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} x^{2} e^{x^{2}} - \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C$

Этап 8

Разделим каждый член $e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} x^{2} e^{x^{2}} - \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C$ на $e^{x^{2}}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим каждый член $e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} x^{2} e^{x^{2}} - \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C$ на $e^{x^{2}}$ .

$\frac{e^{x^{2}} y}{e^{x^{2}}} = \frac{\frac{1}{2} x^{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{- \frac{1}{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Этап 8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сократим общий множитель $e^{x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{x^{2}} y}{e^{x^{2}}} = \frac{\frac{1}{2} x^{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{- \frac{1}{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Этап 8.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} x^{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{- \frac{1}{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Этап 8.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Сократим общий множитель $e^{x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{\frac{1}{2} x^{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{- \frac{1}{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Этап 8.3.1.1.2

Разделим $\frac{1}{2} x^{2}$ на $1$ .

$y = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{- \frac{1}{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Этап 8.3.1.2

Сократим общий множитель $e^{x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{- \frac{1}{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Этап 8.3.1.2.2

Разделим $- \frac{1}{2}$ на $1$ .

$y = \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Этап 8.3.2

Вычтем $\frac{1}{2}$ из $\frac{1}{2} x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Изменим порядок $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$y = x^{2} \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Этап 8.3.2.2

Чтобы записать $x^{2} \frac{1}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y = x^{2} \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Этап 8.3.2.3

Объединим $x^{2} \frac{1}{2}$ и $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x^{2} \frac{1}{2} \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Этап 8.3.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{x^{2} \frac{1}{2} \cdot 2 - 1}{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Этап 8.3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.1

Объединим $x^{2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{\frac{x^{2}}{2} \cdot 2 - 1}{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Этап 8.3.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.2.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{\frac{x^{2}}{2} \cdot 2 - 1}{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Этап 8.3.3.2.2

Перепишем это выражение.

$y = \frac{x^{2} - 1}{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Этап 8.3.3.3

Перепишем $x^{2} - 1$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.3.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$y = \frac{x^{2} - 1^{2}}{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Этап 8.3.3.3.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$y = \frac{(x + 1) (x - 1)}{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Этап 8.3.4

Чтобы записать $\frac{(x + 1) (x - 1)}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}}$ .

$y = \frac{(x + 1) (x - 1)}{2} \cdot \frac{e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Этап 8.3.5

Чтобы записать $\frac{C}{e^{x^{2}}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{(x + 1) (x - 1)}{2} \cdot \frac{e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 8.3.6

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $2 e^{x^{2}}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.6.1

Умножим $\frac{(x + 1) (x - 1)}{2}$ на $\frac{e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}}$ .

$y = \frac{(x + 1) (x - 1) e^{x^{2}}}{2 e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 8.3.6.2

Умножим $\frac{C}{e^{x^{2}}}$ на $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{(x + 1) (x - 1) e^{x^{2}}}{2 e^{x^{2}}} + \frac{C \cdot 2}{e^{x^{2}} \cdot 2}$

Этап 8.3.6.3

Изменим порядок множителей в $e^{x^{2}} \cdot 2$ .

$y = \frac{(x + 1) (x - 1) e^{x^{2}}}{2 e^{x^{2}}} + \frac{C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

Этап 8.3.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{(x + 1) (x - 1) e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

Этап 8.3.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.8.1

Развернем $(x + 1) (x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.8.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{(x (x - 1) + 1 (x - 1)) e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

Этап 8.3.8.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{(x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)) e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

Этап 8.3.8.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{(x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

Этап 8.3.8.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.8.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.8.2.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$y = \frac{(x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

Этап 8.3.8.2.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$y = \frac{(x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1) e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

Этап 8.3.8.2.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$y = \frac{(x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1) e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

Этап 8.3.8.2.1.4

Умножим $x$ на $1$ .

$y = \frac{(x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1) e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

Этап 8.3.8.2.1.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$y = \frac{(x^{2} - x + x - 1) e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

Этап 8.3.8.2.2

Добавим $- x$ и $x$ .

$y = \frac{(x^{2} + 0 - 1) e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

Этап 8.3.8.2.3

Добавим $x^{2}$ и $0$ .

$y = \frac{(x^{2} - 1) e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

Этап 8.3.8.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{x^{2} e^{x^{2}} - 1 e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

Этап 8.3.8.4

Перепишем $- 1 e^{x^{2}}$ в виде $- e^{x^{2}}$ .

$y = \frac{x^{2} e^{x^{2}} - e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

Этап 8.3.8.5

Перенесем $2$ влево от $C$ .

$y = \frac{x^{2} e^{x^{2}} - e^{x^{2}} + 2 C}{2 e^{x^{2}}}$