Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = x^{2} + 2 x$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = (x^{2} + 2 x) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int x^{2} + 2 x d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int x^{2} + 2 x d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$y + C_{1} = \int x^{2} d x + \int 2 x d x$

Этап 2.3.2

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \int 2 x d x$

Этап 2.3.3

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + 2 \int x d x$

Этап 2.3.4

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Этап 2.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Упростим.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{2}{2} x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.5.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.2.1

Сократим общий множитель.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{2}{2} x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.5.2.2.2

Перепишем это выражение.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + 1 x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.5.2.3

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.6

Изменим порядок членов.

$y + C_{1} = x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + K$