Математический анализ Примеры

$y (\frac{d^{2} x}{d y^{2}}) = y^{2} + 1$

Этап 1

Предположим, что все решения имеют вид $x = e^{r y}$ .

Этап 2

Найдем характеристическое уравнение для $y \frac{d^{2} x}{d y^{2}} = y^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

$\frac{d x}{d y} = r e^{r y}$

Этап 2.2

Найдем вторую производную.

$\frac{d^{2} x}{d y^{2}} = r^{2} e^{r y}$

Этап 2.3

Подставим в дифференциальное уравнение.

$y (r^{2} e^{r y}) = y^{2} + 1$

Этап 2.4

Изменим порядок множителей в $y (r^{2} e^{r y})$ .

$y r^{2} e^{r y} = y^{2} + 1$

Этап 2.5

Вынесем множитель $e^{r y}$ из $y r^{2} e^{r y}$ .

$e^{r y} (y r^{2}) = y^{2} + 1$

Этап 2.6

Так как экспоненциальные выражения не могут быть равны нулю, разделите обе части на $e^{r y}$ .

$y r^{2} = y^{2} + 1$

Этап 3

Решим относительно $r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим каждый член $y r^{2} = y^{2} + 1$ на $y$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Разделим каждый член $y r^{2} = y^{2} + 1$ на $y$ .

$\frac{y r^{2}}{y} = \frac{y^{2}}{y} + \frac{1}{y}$

Этап 3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y r^{2}}{y} = \frac{y^{2}}{y} + \frac{1}{y}$

Этап 3.1.2.1.2

Разделим $r^{2}$ на $1$ .

$r^{2} = \frac{y^{2}}{y} + \frac{1}{y}$

Этап 3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Сократим общий множитель $y^{2}$ и $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1.1

Вынесем множитель $y$ из $y^{2}$ .

$r^{2} = \frac{y \cdot y}{y} + \frac{1}{y}$

Этап 3.1.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1.2.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$r^{2} = \frac{y \cdot y}{y^{1}} + \frac{1}{y}$

Этап 3.1.3.1.2.2

Вынесем множитель $y$ из $y^{1}$ .

$r^{2} = \frac{y \cdot y}{y \cdot 1} + \frac{1}{y}$

Этап 3.1.3.1.2.3

Сократим общий множитель.

$r^{2} = \frac{y \cdot y}{y \cdot 1} + \frac{1}{y}$

Этап 3.1.3.1.2.4

Перепишем это выражение.

$r^{2} = \frac{y}{1} + \frac{1}{y}$

Этап 3.1.3.1.2.5

Разделим $y$ на $1$ .

$r^{2} = y + \frac{1}{y}$

Этап 3.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$r = \pm \sqrt{y + \frac{1}{y}}$

Этап 3.3

Упростим $\pm \sqrt{y + \frac{1}{y}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Чтобы записать $y$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{y}{y}$ .

$r = \pm \sqrt{\frac{y \cdot y}{y} + \frac{1}{y}}$

Этап 3.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$r = \pm \sqrt{\frac{y \cdot y + 1}{y}}$

Этап 3.3.3

Умножим $y$ на $y$ .

$r = \pm \sqrt{\frac{y^{2} + 1}{y}}$

Этап 3.3.4

Перепишем $\sqrt{\frac{y^{2} + 1}{y}}$ в виде $\frac{\sqrt{y^{2} + 1}}{\sqrt{y}}$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1}}{\sqrt{y}}$

Этап 3.3.5

Умножим $\frac{\sqrt{y^{2} + 1}}{\sqrt{y}}$ на $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1}}{\sqrt{y}} \cdot \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$

Этап 3.3.6

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.1

Умножим $\frac{\sqrt{y^{2} + 1}}{\sqrt{y}}$ на $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{\sqrt{y} \sqrt{y}}$

Этап 3.3.6.2

Возведем $\sqrt{y}$ в степень $1$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} \sqrt{y}}$

Этап 3.3.6.3

Возведем $\sqrt{y}$ в степень $1$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} {\sqrt{y}}^{1}}$

Этап 3.3.6.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1 + 1}}$

Этап 3.3.6.5

Добавим $1$ и $1$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{2}}$

Этап 3.3.6.6

Перепишем ${\sqrt{y}}^{2}$ в виде $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{y}$ в виде $y^{\frac{1}{2}}$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 3.3.6.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{y^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 3.3.6.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.3.6.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.6.4.1

Сократим общий множитель.

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.3.6.6.4.2

Перепишем это выражение.

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{y^{1}}$

Этап 3.3.6.6.5

Упростим.

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{y}$

Этап 3.3.7

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$r = \pm \frac{\sqrt{(y^{2} + 1) y}}{y}$

Этап 3.3.8

Изменим порядок множителей в $\pm \frac{\sqrt{(y^{2} + 1) y}}{y}$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$

Этап 3.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$r = \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$

Этап 3.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$r = - \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$

Этап 3.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$r = \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$

$r = - \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$

$r = \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$

$r = - \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$

$r = \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$

$r = - \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$

Этап 4

По двум найденным значениям $r$ можно найти два решения.

$x_{1} = e^{\frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y} y}$

$x_{2} = e^{- \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y} y}$

Этап 5

Согласно принципу суперпозиции, общее решение является линейной комбинацией двух решений для однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка.

$x = c_{1} e^{\frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y} y} + c_{2} e^{- \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y} y}$

Этап 6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Сократим общий множитель.

$x = c_{1} e^{\frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y} y} + c_{2} e^{- \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y} y}$

Этап 6.1.2

Перепишем это выражение.

$x = c_{1} e^{\sqrt{y (y^{2} + 1)}} + c_{2} e^{- \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y} y}$

Этап 6.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$ в числитель.

$x = c_{1} e^{\sqrt{y (y^{2} + 1)}} + c_{2} e^{\frac{- \sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y} y}$

Этап 6.2.2

Сократим общий множитель.

$x = c_{1} e^{\sqrt{y (y^{2} + 1)}} + c_{2} e^{\frac{- \sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y} y}$

Этап 6.2.3

Перепишем это выражение.

$x = c_{1} e^{\sqrt{y (y^{2} + 1)}} + c_{2} e^{- \sqrt{y (y^{2} + 1)}}$