Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = - 2 y$ , $y (2) = 3$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (- 2 y)$

Этап 1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - 2 \frac{1}{y} y$

Этап 1.2.2

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 2}{y} y$

Этап 1.2.3

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 2}{y} y$

Этап 1.2.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - 2$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y} d y = - 2 d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - 2 d x$

Этап 2.2

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - 2 d x$

Этап 2.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 x + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| y |) = - 2 x + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- 2 x + C}$

Этап 3.2

Перепишем $\ln (| y |) = - 2 x + C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{- 2 x + C} = | y |$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $| y | = e^{- 2 x + C}$ .

$| y | = e^{- 2 x + C}$

Этап 3.3.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{- 2 x + C}$

Этап 4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $e^{- 2 x + C}$ в виде $e^{- 2 x} e^{C}$ .

$y = \pm e^{- 2 x} e^{C}$

Этап 4.2

Изменим порядок $e^{- 2 x}$ и $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{- 2 x}$

Этап 4.3

Объединим константы с плюсом или минусом.

$y = C e^{- 2 x}$

Этап 5

Используем начальное условие, чтобы найти значение $C$ , подставив $2$ вместо $x$ и $3$ вместо $y$ в $y = C e^{- 2 x}$ .

$3 = C e^{- 2 \cdot 2}$

Этап 6

Решим относительно $C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем уравнение в виде $C e^{- 2 \cdot 2} = 3$ .

$C e^{- 2 \cdot 2} = 3$

Этап 6.2

Умножим $- 2$ на $2$ .

$C e^{- 4} = 3$

Этап 6.3

Разделим каждый член $C e^{- 4} = 3$ на $e^{- 4}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Разделим каждый член $C e^{- 4} = 3$ на $e^{- 4}$ .

$\frac{C e^{- 4}}{e^{- 4}} = \frac{3}{e^{- 4}}$

Этап 6.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Сократим общий множитель $e^{- 4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{C e^{- 4}}{e^{- 4}} = \frac{3}{e^{- 4}}$

Этап 6.3.2.1.2

Разделим $C$ на $1$ .

$C = \frac{3}{e^{- 4}}$

Этап 6.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Перенесем $e^{- 4}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$C = 3 e^{4}$

Этап 7

Подставим $3 e^{4}$ вместо $C$ в $y = C e^{- 2 x}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Подставим $3 e^{4}$ вместо $C$ .

$y = 3 e^{4} e^{- 2 x}$

Этап 7.2

Умножим $e^{4}$ на $e^{- 2 x}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Перенесем $e^{- 2 x}$ .

$y = 3 (e^{- 2 x} e^{4})$

Этап 7.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = 3 e^{- 2 x + 4}$