Математический анализ Примеры

$\frac{d r}{d θ} = \csc^{2} (7 θ) \cot (7 θ)$ , $r (\frac{π}{4}) = 3$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d r = \csc^{2} (7 θ) \cot (7 θ) d θ$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d r = \int \csc^{2} (7 θ) \cot (7 θ) d θ$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$r + C_{1} = \int \csc^{2} (7 θ) \cot (7 θ) d θ$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Пусть $u_{2} = \csc (7 θ)$ . Тогда $d u_{2} = - 7 \cot (7 θ) \csc (7 θ) d θ$ , следовательно $- \frac{1}{7} d u_{2} = \cot (7 θ) \csc (7 θ) d θ$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Пусть $u_{2} = \csc (7 θ)$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d θ}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Дифференцируем $\csc (7 θ)$ .

$\frac{d}{d θ} [\csc (7 θ)]$

Этап 2.3.1.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ имеет вид $f' (g (θ)) g' (θ)$ , где $f (θ) = \csc (θ)$ и $g (θ) = 7 θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $7 θ$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\csc (u_{1})] \frac{d}{d θ} [7 θ]$

Этап 2.3.1.1.2.2

Производная $\csc (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $- \csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ .

$- \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{d}{d θ} [7 θ]$

Этап 2.3.1.1.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $7 θ$ .

$- \csc (7 θ) \cot (7 θ) \frac{d}{d θ} [7 θ]$

Этап 2.3.1.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.3.1

Поскольку $7$ является константой относительно $θ$ , производная $7 θ$ по $θ$ равна $7 \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$- \csc (7 θ) \cot (7 θ) (7 \frac{d}{d θ} [θ])$

Этап 2.3.1.1.3.2

Умножим $7$ на $- 1$ .

$- 7 \csc (7 θ) \cot (7 θ) \frac{d}{d θ} [θ]$

Этап 2.3.1.1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ имеет вид $n θ^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 7 \csc (7 θ) \cot (7 θ) \cdot 1$

Этап 2.3.1.1.3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.3.4.1

Умножим $- 7$ на $1$ .

$- 7 \csc (7 θ) \cot (7 θ)$

Этап 2.3.1.1.3.4.2

Изменим порядок множителей в $- 7 \csc (7 θ) \cot (7 θ)$ .

$- 7 \cot (7 θ) \csc (7 θ)$

Этап 2.3.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$r + C_{1} = \int u_{2} \frac{1}{- 7} d u_{2}$

Этап 2.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$r + C_{1} = \int u_{2} (- \frac{1}{7}) d u_{2}$

Этап 2.3.2.2

Объединим $u_{2}$ и $\frac{1}{7}$ .

$r + C_{1} = \int - \frac{u_{2}}{7} d u_{2}$

Этап 2.3.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$r + C_{1} = - \int \frac{u_{2}}{7} d u_{2}$

Этап 2.3.4

Поскольку $\frac{1}{7}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{7}$ из-под знака интеграла.

$r + C_{1} = - (\frac{1}{7} \int u_{2} d u_{2})$

Этап 2.3.5

По правилу степени интеграл $u_{2}$ по $u_{2}$ имеет вид $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$r + C_{1} = - \frac{1}{7} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C_{2})$

Этап 2.3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Перепишем $- \frac{1}{7} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C_{2})$ в виде $- \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C_{2}$ .

$r + C_{1} = - \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.2.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{7}$ .

$r + C_{1} = - \frac{1}{2 \cdot 7} {u_{2}}^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.6.2.2

Умножим $2$ на $7$ .

$r + C_{1} = - \frac{1}{14} {u_{2}}^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.7

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\csc (7 θ)$ .

$r + C_{1} = - \frac{1}{14} \csc^{2} (7 θ) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$r = - \frac{1}{14} \csc^{2} (7 θ) + K$

Этап 3

Используем начальное условие, чтобы найти значение $K$ , подставив $\frac{π}{4}$ вместо $θ$ и $3$ вместо $r$ в $r = - \frac{1}{14} \csc^{2} (7 θ) + K$ .

$3 = - \frac{1}{14} \csc^{2} (7 \frac{π}{4}) + K$

Этап 4

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $- \frac{1}{14} \cdot \csc^{2} (7 (\frac{π}{4})) + K = 3$ .

$- \frac{1}{14} \cdot \csc^{2} (7 (\frac{π}{4})) + K = 3$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Объединим $7$ и $\frac{π}{4}$ .

$- \frac{1}{14} \cdot \csc^{2} (\frac{7 π}{4}) + K = 3$

Этап 4.2.1.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Сделаем выражение отрицательным, поскольку косеканс отрицателен в четвертом квадранте.

$- \frac{1}{14} \cdot {(- \csc (\frac{π}{4}))}^{2} + K = 3$

Этап 4.2.1.3

Точное значение $\csc (\frac{π}{4})$ : $\sqrt{2}$ .

$- \frac{1}{14} \cdot {(- \sqrt{2})}^{2} + K = 3$

Этап 4.2.1.4

Применим правило умножения к $- \sqrt{2}$ .

$- \frac{1}{14} \cdot ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}) + K = 3$

Этап 4.2.1.5

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.5.1

Перенесем ${(- 1)}^{2}$ .

${(- 1)}^{2} \cdot - 1 \frac{1}{14} \cdot {\sqrt{2}}^{2} + K = 3$

Этап 4.2.1.5.2

Умножим ${(- 1)}^{2}$ на $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.5.2.1

Возведем $- 1$ в степень $1$ .

${(- 1)}^{2} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{1}{14} \cdot {\sqrt{2}}^{2} + K = 3$

Этап 4.2.1.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${(- 1)}^{2 + 1} \frac{1}{14} \cdot {\sqrt{2}}^{2} + K = 3$

Этап 4.2.1.5.3

Добавим $2$ и $1$ .

${(- 1)}^{3} \frac{1}{14} \cdot {\sqrt{2}}^{2} + K = 3$

Этап 4.2.1.6

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$- \frac{1}{14} \cdot {\sqrt{2}}^{2} + K = 3$

Этап 4.2.1.7

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{14} \cdot {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + K = 3$

Этап 4.2.1.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{14} \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + K = 3$

Этап 4.2.1.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$- \frac{1}{14} \cdot 2^{\frac{2}{2}} + K = 3$

Этап 4.2.1.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.7.4.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{14} \cdot 2^{\frac{2}{2}} + K = 3$

Этап 4.2.1.7.4.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{14} \cdot 2^{1} + K = 3$

Этап 4.2.1.7.5

Найдем экспоненту.

$- \frac{1}{14} \cdot 2 + K = 3$

Этап 4.2.1.8

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.8.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{14}$ в числитель.

$\frac{- 1}{14} \cdot 2 + K = 3$

Этап 4.2.1.8.2

Вынесем множитель $2$ из $14$ .

$\frac{- 1}{2 (7)} \cdot 2 + K = 3$

Этап 4.2.1.8.3

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{2 \cdot 7} \cdot 2 + K = 3$

Этап 4.2.1.8.4

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{7} + K = 3$

Этап 4.2.1.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{7} + K = 3$

Этап 4.3

Перенесем все члены без $K$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Добавим $\frac{1}{7}$ к обеим частям уравнения.

$K = 3 + \frac{1}{7}$

Этап 4.3.2

Чтобы записать $3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{7}{7}$ .

$K = 3 \cdot \frac{7}{7} + \frac{1}{7}$

Этап 4.3.3

Объединим $3$ и $\frac{7}{7}$ .

$K = \frac{3 \cdot 7}{7} + \frac{1}{7}$

Этап 4.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$K = \frac{3 \cdot 7 + 1}{7}$

Этап 4.3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Умножим $3$ на $7$ .

$K = \frac{21 + 1}{7}$

Этап 4.3.5.2

Добавим $21$ и $1$ .

$K = \frac{22}{7}$

Этап 5

Подставим $\frac{22}{7}$ вместо $K$ в $r = - \frac{1}{14} \csc^{2} (7 θ) + K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $\frac{22}{7}$ вместо $K$ .

$r = - \frac{1}{14} \csc^{2} (7 θ) + \frac{22}{7}$

Этап 5.2

Объединим $\csc^{2} (7 θ)$ и $\frac{1}{14}$ .

$r = - \frac{\csc^{2} (7 θ)}{14} + \frac{22}{7}$