Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = x \cos (5 x^{2})$ , $y (0) = 8$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = x \cos (5 x^{2}) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int x \cos (5 x^{2}) d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int x \cos (5 x^{2}) d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Пусть $u = 5 x^{2}$ . Тогда $d u = 10 x d x$ , следовательно $\frac{1}{10} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Пусть $u = 5 x^{2}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Дифференцируем $5 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

Этап 2.3.1.1.2

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{2}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.3.1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$5 (2 x)$

Этап 2.3.1.1.4

Умножим $2$ на $5$ .

$10 x$

Этап 2.3.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$y + C_{1} = \int \cos (u) \frac{1}{10} d u$

Этап 2.3.2

Объединим $\cos (u)$ и $\frac{1}{10}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{\cos (u)}{10} d u$

Этап 2.3.3

Поскольку $\frac{1}{10}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{10}$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = \frac{1}{10} \int \cos (u) d u$

Этап 2.3.4

Интеграл $\cos (u)$ по $u$ имеет вид $\sin (u)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{10} (\sin (u) + C_{2})$

Этап 2.3.5

Упростим.

$y + C_{1} = \frac{1}{10} \sin (u) + C_{2}$

Этап 2.3.6

Заменим все вхождения $u$ на $5 x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{10} \sin (5 x^{2}) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = \frac{1}{10} \sin (5 x^{2}) + K$

Этап 3

Используем начальное условие, чтобы найти значение $K$ , подставив $0$ вместо $x$ и $8$ вместо $y$ в $y = \frac{1}{10} \sin (5 x^{2}) + K$ .

$8 = \frac{1}{10} \sin (5 \cdot 0^{2}) + K$

Этап 4

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{1}{10} \cdot \sin (5 \cdot 0^{2}) + K = 8$ .

$\frac{1}{10} \cdot \sin (5 \cdot 0^{2}) + K = 8$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим $\frac{1}{10} \cdot \sin (5 \cdot 0^{2}) + K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{1}{10} \cdot \sin (5 \cdot 0) + K = 8$

Этап 4.2.1.1.2

Умножим $5$ на $0$ .

$\frac{1}{10} \cdot \sin (0) + K = 8$

Этап 4.2.1.1.3

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{1}{10} \cdot 0 + K = 8$

Этап 4.2.1.1.4

Умножим $\frac{1}{10}$ на $0$ .

$0 + K = 8$

Этап 4.2.1.2

Добавим $0$ и $K$ .

$K = 8$

Этап 5

Подставим $8$ вместо $K$ в $y = \frac{1}{10} \sin (5 x^{2}) + K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $8$ вместо $K$ .

$y = \frac{1}{10} \sin (5 x^{2}) + 8$

Этап 5.2

Объединим $\frac{1}{10}$ и $\sin (5 x^{2})$ .

$y = \frac{\sin (5 x^{2})}{10} + 8$