Математический анализ Примеры

$(x^{2} - 9) d y + x y d x = 0$

Этап 1

Вычтем $x y d x$ из обеих частей уравнения.

$(x^{2} - 9) d y = - x y d x$

Этап 2

Умножим обе части на $\frac{1}{(x^{2} - 9) y}$ .

$\frac{1}{(x^{2} - 9) y} (x^{2} - 9) d y = \frac{1}{(x^{2} - 9) y} (- x y) d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель $x^{2} - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $x^{2} - 9$ из $(x^{2} - 9) y$ .

$\frac{1}{(x^{2} - 9) (y)} (x^{2} - 9) d y = \frac{1}{(x^{2} - 9) y} (- x y) d x$

Этап 3.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{(x^{2} - 9) y} (x^{2} - 9) d y = \frac{1}{(x^{2} - 9) y} (- x y) d x$

Этап 3.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(x^{2} - 9) y} (- x y) d x$

Этап 3.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{(x^{2} - 9) y} (x y) d x$

Этап 3.3

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{(x^{2} - 9) y}$ в числитель.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{(x^{2} - 9) y} (x y) d x$

Этап 3.3.2

Вынесем множитель $y$ из $(x^{2} - 9) y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (x^{2} - 9)} (x y) d x$

Этап 3.3.3

Вынесем множитель $y$ из $x y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (x^{2} - 9)} (y x) d x$

Этап 3.3.4

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (x^{2} - 9)} (y x) d x$

Этап 3.3.5

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{x^{2} - 9} x d x$

Этап 3.4

Объединим $\frac{- 1}{x^{2} - 9}$ и $x$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- x}{x^{2} - 9} d x$

Этап 3.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- x}{x^{2} - 3^{2}} d x$

Этап 3.5.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 3$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- x}{(x + 3) (x - 3)} d x$

Этап 3.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x}{(x + 3) (x - 3)} d x$

Этап 4

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{x}{(x + 3) (x - 3)} d x$

Этап 4.2

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{x}{(x + 3) (x - 3)} d x$

Этап 4.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{x}{(x + 3) (x - 3)} d x$

Этап 4.3.2

Пусть $u = (x + 3) (x - 3)$ . Тогда $d u = 2 x d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Пусть $u = (x + 3) (x - 3)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Дифференцируем $(x + 3) (x - 3)$ .

$\frac{d}{d x} [(x + 3) (x - 3)]$

Этап 4.3.2.1.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x + 3$ и $g (x) = x - 3$ .

$(x + 3) \frac{d}{d x} [x - 3] + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]$

Этап 4.3.2.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.3.1

По правилу суммы производная $x - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$(x + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]$

Этап 4.3.2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(x + 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]$

Этап 4.3.2.1.3.3

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$(x + 3) (1 + 0) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]$

Этап 4.3.2.1.3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.3.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$(x + 3) \cdot 1 + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]$

Этап 4.3.2.1.3.4.2

Умножим $x + 3$ на $1$ .

$x + 3 + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]$

Этап 4.3.2.1.3.5

По правилу суммы производная $x + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$x + 3 + (x - 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

Этап 4.3.2.1.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x + 3 + (x - 3) (1 + \frac{d}{d x} [3])$

Этап 4.3.2.1.3.7

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$x + 3 + (x - 3) (1 + 0)$

Этап 4.3.2.1.3.8

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.3.8.1

Добавим $1$ и $0$ .

$x + 3 + (x - 3) \cdot 1$

Этап 4.3.2.1.3.8.2

Умножим $x - 3$ на $1$ .

$x + 3 + x - 3$

Этап 4.3.2.1.3.8.3

Добавим $x$ и $x$ .

$2 x + 3 - 3$

Этап 4.3.2.1.3.8.4

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.3.8.4.1

Вычтем $3$ из $3$ .

$2 x + 0$

Этап 4.3.2.1.3.8.4.2

Добавим $2 x$ и $0$ .

$2 x$

Этап 4.3.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Этап 4.3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Этап 4.3.3.2

Перенесем $2$ влево от $u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{2 u} d u$

Этап 4.3.4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Этап 4.3.5

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{2})$

Этап 4.3.6

Упростим.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{2}$

Этап 4.3.7

Заменим все вхождения $u$ на $(x + 3) (x - 3)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| (x + 3) (x - 3) |) + C_{2}$

Этап 4.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| y |) = - \frac{1}{2} \ln (| (x + 3) (x - 3) |) + C$

Этап 5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Объединим $\ln (| (x + 3) (x - 3) |)$ и $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) = - \frac{\ln (| (x + 3) (x - 3) |)}{2} + C$

Этап 5.2

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| (x + 3) (x - 3) |)}{2} = C$

Этап 5.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Развернем $(x + 3) (x - 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x (x - 3) + 3 (x - 3) |)}{2} = C$

Этап 5.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 (x - 3) |)}{2} = C$

Этап 5.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3 |)}{2} = C$

Этап 5.3.2

Объединим противоположные члены в $x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Изменим порядок множителей в членах $x \cdot - 3$ и $3 x$ .

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x \cdot x - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3 |)}{2} = C$

Этап 5.3.2.2

Добавим $- 3 x$ и $3 x$ .

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x \cdot x + 0 + 3 \cdot - 3 |)}{2} = C$

Этап 5.3.2.3

Добавим $x \cdot x$ и $0$ .

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x \cdot x + 3 \cdot - 3 |)}{2} = C$

Этап 5.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x^{2} + 3 \cdot - 3 |)}{2} = C$

Этап 5.3.3.2

Умножим $3$ на $- 3$ .

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x^{2} - 9 |)}{2} = C$

Этап 5.4

Чтобы записать $\ln (| y |)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| y |) \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (| x^{2} - 9 |)}{2} = C$

Этап 5.5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Объединим $\ln (| y |)$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (| y |) \cdot 2}{2} + \frac{\ln (| x^{2} - 9 |)}{2} = C$

Этап 5.5.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\ln (| y |) \cdot 2 + \ln (| x^{2} - 9 |)}{2} = C$

Этап 5.6

Перенесем $2$ влево от $\ln (| y |)$ .

$\frac{2 \ln (| y |) + \ln (| x^{2} - 9 |)}{2} = C$

Этап 5.7

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Упростим $\frac{2 \ln (| y |) + \ln (| x^{2} - 9 |)}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1.1.1

Упростим $2 \ln (| y |)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\frac{\ln ({| y |}^{2}) + \ln (| x^{2} - 9 |)}{2} = C$

Этап 5.7.1.1.2

Уберем знак модуля в ${| y |}^{2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$\frac{\ln (y^{2}) + \ln (| x^{2} - 9 |)}{2} = C$

Этап 5.7.1.1.3

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\ln (y^{2} | x^{2} - 9 |)}{2} = C$

Этап 5.7.1.2

Перепишем $\frac{\ln (y^{2} | x^{2} - 9 |)}{2}$ в виде $\frac{1}{2} \ln (y^{2} | x^{2} - 9 |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (y^{2} | x^{2} - 9 |) = C$

Этап 5.7.1.3

Упростим $\frac{1}{2} \ln (y^{2} | x^{2} - 9 |)$ путем переноса $\frac{1}{2}$ под логарифм.

$\ln ({(y^{2} | x^{2} - 9 |)}^{\frac{1}{2}}) = C$

Этап 5.7.1.4

Применим правило умножения к $y^{2} | x^{2} - 9 |$ .

$\ln ({(y^{2})}^{\frac{1}{2}} {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Этап 5.7.1.5

Перемножим экспоненты в ${(y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (y^{2 (\frac{1}{2})} {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Этап 5.7.1.5.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1.5.2.1

Сократим общий множитель.

$\ln (y^{2 (\frac{1}{2})} {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Этап 5.7.1.5.2.2

Перепишем это выражение.

$\ln (y^{1} {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Этап 5.7.1.6

Упростим.

$\ln (y {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Этап 5.8

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (y {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}})} = e^{C}$

Этап 5.9

Перепишем $\ln (y {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}) = C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{C} = y {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}$

Этап 5.10

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.10.1

Перепишем уравнение в виде $y {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C}$ .

$y {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C}$

Этап 5.10.2

Разделим каждый член $y {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C}$ на ${| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.10.2.1

Разделим каждый член $y {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C}$ на ${| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{e^{C}}{{| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 5.10.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.10.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{e^{C}}{{| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 5.10.2.2.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{e^{C}}{{| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{C}{{| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}}$