Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} + x y = 6 x \sqrt{y}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{y}$ в виде $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} + x y = 6 x y^{\frac{1}{2}}$

Этап 2

Чтобы решить дифференциальное уравнение, пусть $v = y^{1 - n}$ , где $n$ — показатель степени $y^{\frac{1}{2}}$ .

$v = y^{\frac{1}{2}}$

Этап 3

Решим уравнение относительно $y$ .

$y = v^{2}$

Этап 4

Возьмем производную $y$ по $x$ .

$y' = v^{2}$

Этап 5

Возьмем производную $v^{2}$ по $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Возьмем производную от $v^{2}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{2}]$

Этап 5.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $v$ .

$y' = \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [v]$

Этап 5.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$y' = 2 u_{1} \frac{d}{d x} [v]$

Этап 5.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $v$ .

$y' = 2 v \frac{d}{d x} [v]$

Этап 5.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [v]$ в виде $v'$ .

$y' = 2 v v'$

Этап 6

Подставим $2 v v'$ вместо $\frac{d y}{d x}$ и $v^{2}$ вместо $y$ в исходное уравнение $\frac{d y}{d x} + x y = 6 x y^{\frac{1}{2}}$ .

$2 v v' + x v^{2} = 6 x {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Этап 7

Решим подставленное дифференциальное уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Решим относительно $\frac{d v}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.1

Упростим $6 x {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 v \frac{d v}{d x} + x v^{2} = 6 x v^{2 (\frac{1}{2})}$

Этап 7.1.1.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$2 v \frac{d v}{d x} + x v^{2} = 6 x v^{2 (\frac{1}{2})}$

Этап 7.1.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$2 v \frac{d v}{d x} + x v^{2} = 6 x v^{1}$

Этап 7.1.1.1.2

Упростим.

$2 v \frac{d v}{d x} + x v^{2} = 6 x v$

Этап 7.1.1.2

Вычтем $x v^{2}$ из обеих частей уравнения.

$2 v \frac{d v}{d x} = 6 x v - x v^{2}$

Этап 7.1.1.3

Разделим каждый член $2 v \frac{d v}{d x} = 6 x v - x v^{2}$ на $2 v$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.3.1

Разделим каждый член $2 v \frac{d v}{d x} = 6 x v - x v^{2}$ на $2 v$ .

$\frac{2 v \frac{d v}{d x}}{2 v} = \frac{6 x v}{2 v} + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

Этап 7.1.1.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 v \frac{d v}{d x}}{2 v} = \frac{6 x v}{2 v} + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

Этап 7.1.1.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{v \frac{d v}{d x}}{v} = \frac{6 x v}{2 v} + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

Этап 7.1.1.3.2.2

Сократим общий множитель $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{v \frac{d v}{d x}}{v} = \frac{6 x v}{2 v} + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

Этап 7.1.1.3.2.2.2

Разделим $\frac{d v}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{6 x v}{2 v} + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

Этап 7.1.1.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.3.3.1.1

Сократим общий множитель $6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.3.3.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $6 x v$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{2 (3 x v)}{2 v} + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

Этап 7.1.1.3.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.3.3.1.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 v$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{2 (3 x v)}{2 (v)} + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

Этап 7.1.1.3.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d v}{d x} = \frac{2 (3 x v)}{2 v} + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

Этап 7.1.1.3.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d v}{d x} = \frac{3 x v}{v} + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

Этап 7.1.1.3.3.1.2

Сократим общий множитель $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.3.3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d v}{d x} = \frac{3 x v}{v} + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

Этап 7.1.1.3.3.1.2.2

Разделим $3 x$ на $1$ .

$\frac{d v}{d x} = 3 x + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

Этап 7.1.1.3.3.1.3

Сократим общий множитель $v^{2}$ и $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.3.3.1.3.1

Вынесем множитель $v$ из $- x v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} = 3 x + \frac{v (- x v)}{2 v}$

Этап 7.1.1.3.3.1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.3.3.1.3.2.1

Вынесем множитель $v$ из $2 v$ .

$\frac{d v}{d x} = 3 x + \frac{v (- x v)}{v \cdot 2}$

Этап 7.1.1.3.3.1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d v}{d x} = 3 x + \frac{v (- x v)}{v \cdot 2}$

Этап 7.1.1.3.3.1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d v}{d x} = 3 x + \frac{- x v}{2}$

Этап 7.1.1.3.3.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d v}{d x} = 3 x - \frac{x v}{2}$

Этап 7.1.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1

Вынесем множитель $x$ из $3 x - \frac{x v}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1.1

Вынесем множитель $x$ из $3 x$ .

$\frac{d v}{d x} = x \cdot 3 - \frac{x v}{2}$

Этап 7.1.2.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- \frac{x v}{2}$ .

$\frac{d v}{d x} = x \cdot 3 + x (- \frac{v}{2})$

Этап 7.1.2.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot 3 + x (- \frac{v}{2})$ .

$\frac{d v}{d x} = x (3 - \frac{v}{2})$

Этап 7.1.2.2

Чтобы записать $3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d v}{d x} = x (3 \cdot \frac{2}{2} - \frac{v}{2})$

Этап 7.1.2.3

Объединим $3$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d v}{d x} = x (\frac{3 \cdot 2}{2} - \frac{v}{2})$

Этап 7.1.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d v}{d x} = x \frac{3 \cdot 2 - v}{2}$

Этап 7.1.2.5

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{d v}{d x} = x \frac{6 - v}{2}$

Этап 7.1.3

Умножим обе части на $\frac{2}{6 - v}$ .

$\frac{2}{6 - v} \frac{d v}{d x} = \frac{2}{6 - v} (x \frac{6 - v}{2})$

Этап 7.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.4.1

Объединим $x$ и $\frac{6 - v}{2}$ .

$\frac{2}{6 - v} \frac{d v}{d x} = \frac{2}{6 - v} \cdot \frac{x (6 - v)}{2}$

Этап 7.1.4.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.4.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{6 - v} \frac{d v}{d x} = \frac{2}{6 - v} \cdot \frac{x (6 - v)}{2}$

Этап 7.1.4.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{6 - v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{6 - v} (x (6 - v))$

Этап 7.1.4.3

Сократим общий множитель $6 - v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.4.3.1

Вынесем множитель $6 - v$ из $x (6 - v)$ .

$\frac{2}{6 - v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{6 - v} ((6 - v) x)$

Этап 7.1.4.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{6 - v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{6 - v} ((6 - v) x)$

Этап 7.1.4.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{6 - v} \frac{d v}{d x} = x$

Этап 7.1.5

Перепишем уравнение.

$\frac{2}{6 - v} d v = x d x$

Этап 7.2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{2}{6 - v} d v = \int x d x$

Этап 7.2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $v$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int \frac{1}{6 - v} d v = \int x d x$

Этап 7.2.2.2

Пусть $u_{2} = 6 - v$ . Тогда $d u_{2} = - d v$ , следовательно $- d u_{2} = d v$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.2.1

Пусть $u_{2} = 6 - v$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d v}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.2.1.1

Перепишем.

$\frac{- 1}{1}$

Этап 7.2.2.2.1.2

Разделим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 7.2.2.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$2 \int \frac{- 1}{u_{2}} d u_{2} = \int x d x$

Этап 7.2.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2 \int - \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int x d x$

Этап 7.2.2.4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$2 (- \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}) = \int x d x$

Этап 7.2.2.5

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int x d x$

Этап 7.2.2.6

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$- 2 (\ln (| u_{2} |) + C_{1}) = \int x d x$

Этап 7.2.2.7

Упростим.

$- 2 \ln (| u_{2} |) + C_{1} = \int x d x$

Этап 7.2.2.8

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $6 - v$ .

$- 2 \ln (| 6 - v |) + C_{1} = \int x d x$

Этап 7.2.3

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- 2 \ln (| 6 - v |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Этап 7.2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$- 2 \ln (| 6 - v |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Этап 7.3

Решим относительно $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Разделим каждый член $- 2 \ln (| 6 - v |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1

Разделим каждый член $- 2 \ln (| 6 - v |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 \ln (| 6 - v |)}{- 2} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 2} + \frac{C}{- 2}$

Этап 7.3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 \ln (| 6 - v |)}{- 2} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 2} + \frac{C}{- 2}$

Этап 7.3.1.2.1.2

Разделим $\ln (| 6 - v |)$ на $1$ .

$\ln (| 6 - v |) = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 2} + \frac{C}{- 2}$

Этап 7.3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.3.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$\ln (| 6 - v |) = \frac{\frac{x^{2}}{2}}{- 2} + \frac{C}{- 2}$

Этап 7.3.1.3.1.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\ln (| 6 - v |) = \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{- 2} + \frac{C}{- 2}$

Этап 7.3.1.3.1.3

Объединим.

$\ln (| 6 - v |) = \frac{x^{2} \cdot 1}{2 \cdot - 2} + \frac{C}{- 2}$

Этап 7.3.1.3.1.4

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$\ln (| 6 - v |) = \frac{x^{2}}{2 \cdot - 2} + \frac{C}{- 2}$

Этап 7.3.1.3.1.5

Умножим $2$ на $- 2$ .

$\ln (| 6 - v |) = \frac{x^{2}}{- 4} + \frac{C}{- 2}$

Этап 7.3.1.3.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\ln (| 6 - v |) = - \frac{x^{2}}{4} + \frac{C}{- 2}$

Этап 7.3.1.3.1.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\ln (| 6 - v |) = - \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}$

Этап 7.3.2

Чтобы решить относительно $v$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| 6 - v |)} = e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}$

Этап 7.3.3

Перепишем $\ln (| 6 - v |) = - \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}} = | 6 - v |$

Этап 7.3.4

Решим относительно $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.4.1

Перепишем уравнение в виде $| 6 - v | = e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}$ .

$| 6 - v | = e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}$

Этап 7.3.4.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$6 - v = \pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}$

Этап 7.3.4.3

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$- v = \pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}} - 6$

Этап 7.3.4.4

Разделим каждый член $- v = \pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}} - 6$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.4.4.1

Разделим каждый член $- v = \pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}} - 6$ на $- 1$ .

$\frac{- v}{- 1} = \frac{\pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}}{- 1} + \frac{- 6}{- 1}$

Этап 7.3.4.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.4.4.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{v}{1} = \frac{\pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}}{- 1} + \frac{- 6}{- 1}$

Этап 7.3.4.4.2.2

Разделим $v$ на $1$ .

$v = \frac{\pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}}{- 1} + \frac{- 6}{- 1}$

Этап 7.3.4.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.4.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.4.4.3.1.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}}{- 1}$ .

$v = - 1 \cdot (\pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}) + \frac{- 6}{- 1}$

Этап 7.3.4.4.3.1.2

Перепишем $- 1 \cdot (\pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}})$ в виде $- (\pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}})$ .

$v = - (\pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}) + \frac{- 6}{- 1}$

Этап 7.3.4.4.3.1.3

Разделим $- 6$ на $- 1$ .

$v = - (\pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}) + 6$

Этап 7.4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Упростим постоянную интегрирования.

$v = - (\pm e^{- \frac{x^{2}}{4} + C}) + 6$

Этап 7.4.2

Перепишем $e^{- \frac{x^{2}}{4} + C}$ в виде $e^{- \frac{x^{2}}{4}} e^{C}$ .

$v = - (\pm e^{- \frac{x^{2}}{4}} e^{C}) + 6$

Этап 7.4.3

Изменим порядок $e^{- \frac{x^{2}}{4}}$ и $e^{C}$ .

$v = - (\pm e^{C} e^{- \frac{x^{2}}{4}}) + 6$

Этап 7.4.4

Объединим константы с плюсом или минусом.

$v = - (C e^{- \frac{x^{2}}{4}}) + 6$

Этап 8

Подставим $y^{\frac{1}{2}}$ вместо $v$ .

$y^{\frac{1}{2}} = - (C e^{- \frac{x^{2}}{4}}) + 6$