Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = 5^{x} \ln (5) + \frac{1}{x^{2} + 1}$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = (5^{x} \ln (5) + \frac{1}{x^{2} + 1}) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int 5^{x} \ln (5) + \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int 5^{x} \ln (5) + \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$y + C_{1} = \int 5^{x} \ln (5) d x + \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Этап 2.3.2

Поскольку $\ln (5)$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\ln (5)$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = \ln (5) \int 5^{x} d x + \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Этап 2.3.3

Интеграл $5^{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{5^{x}}{\ln (5)}$ .

$y + C_{1} = \ln (5) (\frac{5^{x}}{\ln (5)} + C_{2}) + \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Этап 2.3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Изменим порядок $x^{2}$ и $1$ .

$y + C_{1} = \ln (5) (\frac{5^{x}}{\ln (5)} + C_{2}) + \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Этап 2.3.4.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$y + C_{1} = \ln (5) (\frac{5^{x}}{\ln (5)} + C_{2}) + \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Этап 2.3.5

Интеграл $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ по $x$ имеет вид $\arctan (x) + C_{3}$ .

$y + C_{1} = \ln (5) (\frac{5^{x}}{\ln (5)} + C_{2}) + \arctan (x) + C_{3}$

Этап 2.3.6

Упростим.

$y + C_{1} = 5^{x} + \arctan (x) + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = 5^{x} + \arctan (x) + K$