Математический анализ Примеры

$(x^{3} y + 8 y) d x + (y + 1) d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = x^{3} y + 8 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{3} y + 8 y]$

Этап 1.2

По правилу суммы производная $x^{3} y + 8 y$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [x^{3} y] + \frac{d}{d y} [8 y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{3} y] + \frac{d}{d y} [8 y]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [x^{3} y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $x^{3}$ является константой относительно $y$ , производная $x^{3} y$ по $y$ равна $x^{3} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x^{3} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [8 y]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [8 y]$

Этап 1.3.3

Умножим $x^{3}$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x^{3} + \frac{d}{d y} [8 y]$

Этап 1.4

Найдем значение $\frac{d}{d y} [8 y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $8$ является константой относительно $y$ , производная $8 y$ по $y$ равна $8 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x^{3} + 8 \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x^{3} + 8 \cdot 1$

Этап 1.4.3

Умножим $8$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x^{3} + 8$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = y + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y + 1]$

Этап 2.2

По правилу суммы производная $y + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.3

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $y$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 0$

Этап 2.5

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $x^{3} + 8$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $0$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$x^{3} + 8 = 0$

Этап 3.2

Так как левая часть не равна правой, уравнение не является тождеством.

$x^{3} + 8 = 0$ не является тождеством.

Этап 4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $0$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{0 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Этап 4.2

Подставим $x^{3} + 8$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{0 - (x^{3} + 8)}{M}$

Этап 4.3

Подставим $x^{3} y + 8 y$ вместо $M$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $x^{3} y + 8 y$ вместо $M$ .

$\frac{0 - (x^{3} + 8)}{x^{3} y + 8 y}$

Этап 4.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{0 - x^{3} - 1 \cdot 8}{x^{3} y + 8 y}$

Этап 4.3.2.2

Умножим $- 1$ на $8$ .

$\frac{0 - x^{3} - 8}{x^{3} y + 8 y}$

Этап 4.3.2.3

Вычтем $- (- x^{3} - 8)$ из $0$ .

$\frac{- x^{3} - 8}{x^{3} y + 8 y}$

Этап 4.3.2.4

Перепишем $- x^{3} - 8$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.4.1

Перепишем $- x^{3}$ в виде ${(- x)}^{3}$ .

$\frac{{(- x)}^{3} - 8}{x^{3} y + 8 y}$

Этап 4.3.2.4.2

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$\frac{{(- x)}^{3} - 2^{3}}{x^{3} y + 8 y}$

Этап 4.3.2.4.3

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = - x$ и $b = 2$ .

$\frac{(- x - 2) ({(- x)}^{2} - x \cdot 2 + 2^{2})}{x^{3} y + 8 y}$

Этап 4.3.2.4.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.4.4.1

Применим правило умножения к $- x$ .

$\frac{(- x - 2) ({(- 1)}^{2} x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2})}{x^{3} y + 8 y}$

Этап 4.3.2.4.4.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\frac{(- x - 2) (1 x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2})}{x^{3} y + 8 y}$

Этап 4.3.2.4.4.3

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$\frac{(- x - 2) (x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2})}{x^{3} y + 8 y}$

Этап 4.3.2.4.4.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{(- x - 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2})}{x^{3} y + 8 y}$

Этап 4.3.2.4.4.5

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{(- x - 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{x^{3} y + 8 y}$

Этап 4.3.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Вынесем множитель $y$ из $x^{3} y + 8 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1.1

Вынесем множитель $y$ из $x^{3} y$ .

$\frac{(- x - 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{y x^{3} + 8 y}$

Этап 4.3.3.1.2

Вынесем множитель $y$ из $8 y$ .

$\frac{(- x - 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{y x^{3} + y \cdot 8}$

Этап 4.3.3.1.3

Вынесем множитель $y$ из $y x^{3} + y \cdot 8$ .

$\frac{(- x - 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{y (x^{3} + 8)}$

Этап 4.3.3.2

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$\frac{(- x - 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{y (x^{3} + 2^{3})}$

Этап 4.3.3.3

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу суммы кубов, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$\frac{(- x - 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{y ((x + 2) (x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2}))}$

Этап 4.3.3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.4.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{(- x - 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{y ((x + 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2}))}$

Этап 4.3.3.4.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{(- x - 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{y ((x + 2) (x^{2} - 2 x + 4))}$

$\frac{(- x - 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{y (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}$

Этап 4.3.4

Сократим общий множитель $x^{2} - 2 x + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(- x - 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{y (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}$

Этап 4.3.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{- x - 2}{y (x + 2)}$

Этап 4.3.5

Сократим общий множитель $- x - 2$ и $x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$\frac{- (x) - 2}{y (x + 2)}$

Этап 4.3.5.2

Перепишем $- 2$ в виде $- 1 (2)$ .

$\frac{- (x) - 1 (2)}{y (x + 2)}$

Этап 4.3.5.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (2)$ .

$\frac{- (x + 2)}{y (x + 2)}$

Этап 4.3.5.4

Перепишем $- (x + 2)$ в виде $- 1 (x + 2)$ .

$\frac{- 1 (x + 2)}{y (x + 2)}$

Этап 4.3.5.5

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1 (x + 2)}{y (x + 2)}$

Этап 4.3.5.6

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{y}$

Этап 4.3.6

Подставим $x^{3} y + 8 y$ вместо $M$ .

$- \frac{1}{y}$

Этап 4.4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{y} d y}$

Этап 5

Найдем интеграл $e^{\int - \frac{1}{y} d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{y} d y}$

Этап 5.2

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| y |) + C)}$

Этап 5.3

Упростим.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| y |)} + C$

Этап 5.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Упростим $- \ln (| y |)$ путем переноса $- 1$ под логарифм.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 1})} + C$

Этап 5.4.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 1} + C$

Этап 5.4.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| y |} + C$

Этап 6

Умножим обе стороны $(x^{3} y + 8 y) d x + (y + 1) d y = 0$ на коэффициент интегрирования $\frac{1}{y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $x^{3} y + 8 y$ на $\frac{1}{y}$ .

$(x^{3} y + 8 y) \frac{1}{y} d x + (y + 1) d y = 0$

Этап 6.2

Умножим $x^{3} y + 8 y$ на $\frac{1}{y}$ .

$\frac{x^{3} y + 8 y}{y} d x + (y + 1) d y = 0$

Этап 6.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Вынесем множитель $y$ из $x^{3} y + 8 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Вынесем множитель $y$ из $x^{3} y$ .

$\frac{y x^{3} + 8 y}{y} d x + (y + 1) d y = 0$

Этап 6.3.1.2

Вынесем множитель $y$ из $8 y$ .

$\frac{y x^{3} + y \cdot 8}{y} d x + (y + 1) d y = 0$

Этап 6.3.1.3

Вынесем множитель $y$ из $y x^{3} + y \cdot 8$ .

$\frac{y (x^{3} + 8)}{y} d x + (y + 1) d y = 0$

Этап 6.3.2

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$\frac{y (x^{3} + 2^{3})}{y} d x + (y + 1) d y = 0$

Этап 6.3.3

$\frac{y ((x + 2) (x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2}))}{y} d x + (y + 1) d y = 0$

Этап 6.3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.4.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{y ((x + 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2}))}{y} d x + (y + 1) d y = 0$

Этап 6.3.4.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{y ((x + 2) (x^{2} - 2 x + 4))}{y} d x + (y + 1) d y = 0$

$\frac{y (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{y} d x + (y + 1) d y = 0$

Этап 6.4

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{y} d x + (y + 1) d y = 0$

Этап 6.4.2

Разделим $(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)$ на $1$ .

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) d x + (y + 1) d y = 0$

Этап 6.5

Развернем $(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$(x \cdot x^{2} + x (- 2 x) + x \cdot 4 + 2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 4) d x + (y + 1) d y = 0$

Этап 6.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$(x^{1} x^{2} + x (- 2 x) + x \cdot 4 + 2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 4) d x + (y + 1) d y = 0$

Этап 6.6.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(x^{1 + 2} + x (- 2 x) + x \cdot 4 + 2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 4) d x + (y + 1) d y = 0$

Этап 6.6.1.2

Добавим $1$ и $2$ .

$(x^{3} + x (- 2 x) + x \cdot 4 + 2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 4) d x + (y + 1) d y = 0$

Этап 6.6.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$(x^{3} - 2 x \cdot x + x \cdot 4 + 2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 4) d x + (y + 1) d y = 0$

Этап 6.6.3

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.3.1

Перенесем $x$ .

$(x^{3} - 2 (x \cdot x) + x \cdot 4 + 2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 4) d x + (y + 1) d y = 0$

Этап 6.6.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

$(x^{3} - 2 x^{2} + x \cdot 4 + 2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 4) d x + (y + 1) d y = 0$

Этап 6.6.4

Перенесем $4$ влево от $x$ .

$(x^{3} - 2 x^{2} + 4 \cdot x + 2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 4) d x + (y + 1) d y = 0$

Этап 6.6.5

Умножим $- 2$ на $2$ .

$(x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + 2 x^{2} - 4 x + 2 \cdot 4) d x + (y + 1) d y = 0$

Этап 6.6.6

Умножим $2$ на $4$ .

$(x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + 2 x^{2} - 4 x + 8) d x + (y + 1) d y = 0$

Этап 6.7

Объединим противоположные члены в $x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + 2 x^{2} - 4 x + 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1

Добавим $- 2 x^{2}$ и $2 x^{2}$ .

$(x^{3} + 4 x + 0 - 4 x + 8) d x + (y + 1) d y = 0$

Этап 6.7.2

Добавим $x^{3} + 4 x$ и $0$ .

$(x^{3} + 4 x - 4 x + 8) d x + (y + 1) d y = 0$

Этап 6.7.3

Вычтем $4 x$ из $4 x$ .

$(x^{3} + 0 + 8) d x + (y + 1) d y = 0$

Этап 6.7.4

Добавим $x^{3}$ и $0$ .

$(x^{3} + 8) d x + (y + 1) d y = 0$

Этап 6.8

Умножим $y + 1$ на $\frac{1}{y}$ .

$(x^{3} + 8) d x + (y + 1) \frac{1}{y} d y = 0$

Этап 6.9

Умножим $y + 1$ на $\frac{1}{y}$ .

$(x^{3} + 8) d x + \frac{y + 1}{y} d y = 0$

Этап 7

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{3} + 8 d x$

Этап 8

Проинтегрируем $M (x, y) = x^{3} + 8$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$f (x, y) = \int x^{3} d x + \int 8 d x$

Этап 8.2

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{4} x^{4} + C + \int 8 d x$

Этап 8.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$f (x, y) = \frac{1}{4} x^{4} + C + 8 x + C$

Этап 8.4

Упростим.

$f (x, y) = \frac{1}{4} x^{4} + 8 x + C$

Этап 9

Так как интеграл $g (y)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{4} x^{4} + 8 x + g (y)$

Этап 10

Зададим $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{y + 1}{y}$

Этап 11

Найдем $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Продифференцируем $f$ по $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{4} x^{4} + 8 x + g (y)] = \frac{y + 1}{y}$

Этап 11.2

По правилу суммы производная $\frac{1}{4} x^{4} + 8 x + g (y)$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d y} [8 x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d y} [8 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y + 1}{y}$

Этап 11.3

Поскольку $\frac{1}{4} x^{4}$ является константой относительно $y$ , производная $\frac{1}{4} x^{4}$ относительно $y$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [8 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y + 1}{y}$

Этап 11.4

Поскольку $8 x$ является константой относительно $y$ , производная $8 x$ относительно $y$ равна $0$ .

$0 + 0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y + 1}{y}$

Этап 11.5

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (y)$ равна $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + 0 + \frac{d g}{d y} = \frac{y + 1}{y}$

Этап 11.6

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.6.1

Добавим $0$ и $0$ .

$0 + \frac{d g}{d y} = \frac{y + 1}{y}$

Этап 11.6.2

Добавим $0$ и $\frac{d g}{d y}$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{y + 1}{y}$

Этап 12

Найдем первообразную $\frac{y + 1}{y}$ , чтобы найти $g (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d y} = \frac{y + 1}{y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{y + 1}{y} d y$

Этап 12.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int \frac{y + 1}{y} d y$

Этап 12.3

Разделим дробь на несколько дробей.

$g (y) = \int \frac{y}{y} + \frac{1}{y} d y$

Этап 12.4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$g (y) = \int \frac{y}{y} d y + \int \frac{1}{y} d y$

Этап 12.5

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.1

Сократим общий множитель.

$g (y) = \int \frac{y}{y} d y + \int \frac{1}{y} d y$

Этап 12.5.2

Перепишем это выражение.

$g (y) = \int d y + \int \frac{1}{y} d y$

Этап 12.6

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$g (y) = y + C + \int \frac{1}{y} d y$

Этап 12.7

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$g (y) = y + C + \ln (| y |) + C$

Этап 12.8

Упростим.

$g (y) = y + \ln (| y |) + C$

Этап 13

Подставим выражение для $g (y)$ в $f (x, y) = \frac{1}{4} x^{4} + 8 x + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{4} x^{4} + 8 x + y + \ln (| y |) + C$

Этап 14

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{4}}{4} + 8 x + y + \ln (| y |) + C$