Математический анализ Примеры

$y e^{y} d y = - \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Этап 1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int y e^{y} d y = \int - \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Этап 2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = y$ и $d v = e^{y}$ .

$y e^{y} - \int e^{y} d y = \int - \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Этап 2.2

Интеграл $e^{y}$ по $y$ имеет вид $e^{y}$ .

$y e^{y} - (e^{y} + C_{1}) = \int - \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Этап 2.3

Упростим.

$y e^{y} - e^{y} + C_{1} = \int - \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Этап 2.4

Изменим порядок членов.

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = \int - \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Этап 3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Этап 3.2

Разделим $x^{2} + 1$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

Этап 3.2.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x$
	$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$

Этап 3.2.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$x^{2}$	+	$0$

Этап 3.2.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{2} + 0$ .

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$

Этап 3.2.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
						$0$

Этап 3.2.6

Вынесем следующий член из исходного делимого в текущее делимое.

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
						$0$	+	$1$

Этап 3.2.7

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - \int x + \frac{1}{x} d x$

Этап 3.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - (\int x d x + \int \frac{1}{x} d x)$

Этап 3.4

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int \frac{1}{x} d x)$

Этап 3.5

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \ln (| x |) + C_{3})$

Этап 3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2} + \ln (| x |) + C_{3})$

Этап 3.6.2

Упростим.

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |)) + C_{4}$

Этап 4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$e^{y} y - e^{y} = - (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |)) + C$