Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{2 \sqrt{x}}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{2 \sqrt{x}}$

Этап 1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Объединим.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 y^{2}}{y^{2} (2 \sqrt{x})}$

Этап 1.2.2

Сократим общий множитель $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 y^{2}}{y^{2} (2 \sqrt{x})}$

Этап 1.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$

Этап 1.2.3

Умножим $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ на $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

Этап 1.2.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Умножим $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ на $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{2 \sqrt{x} \sqrt{x}}$

Этап 1.2.4.2

Перенесем $\sqrt{x}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{2 (\sqrt{x} \sqrt{x})}$

Этап 1.2.4.3

Возведем $\sqrt{x}$ в степень $1$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{2 ({\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x})}$

Этап 1.2.4.4

Возведем $\sqrt{x}$ в степень $1$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{2 ({\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1})}$

Этап 1.2.4.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{2 {\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

Этап 1.2.4.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{2 {\sqrt{x}}^{2}}$

Этап 1.2.4.7

Перепишем ${\sqrt{x}}^{2}$ в виде $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{2 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.2.4.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{2 x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 1.2.4.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{2 x^{\frac{2}{2}}}$

Этап 1.2.4.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.7.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{2 x^{\frac{2}{2}}}$

Этап 1.2.4.7.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{2 x^{1}}$

Этап 1.2.4.7.5

Упростим.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{2 x}$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{\sqrt{x}}{2 x} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int \frac{\sqrt{x}}{2 x} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем $y^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int \frac{\sqrt{x}}{2 x} d x$

Этап 2.2.1.2

Перемножим экспоненты в ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int \frac{\sqrt{x}}{2 x} d x$

Этап 2.2.1.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int \frac{\sqrt{x}}{2 x} d x$

Этап 2.2.2

По правилу степени интеграл $y^{- 2}$ по $y$ имеет вид $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int \frac{\sqrt{x}}{2 x} d x$

Этап 2.2.3

Перепишем $- y^{- 1} + C_{1}$ в виде $- \frac{1}{y} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{\sqrt{x}}{2 x} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Этап 2.3.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} d x$

Этап 2.3.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Перенесем $x^{\frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} d x$

Этап 2.3.2.2.2

Умножим $x$ на $x^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.2.1

Умножим $x$ на $x^{- \frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.2.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} d x$

Этап 2.3.2.2.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} d x$

Этап 2.3.2.2.2.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d x$

Этап 2.3.2.2.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} d x$

Этап 2.3.2.2.2.4

Вычтем $1$ из $2$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Этап 2.3.2.3

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.1

Вынесем $x^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Этап 2.3.2.3.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Этап 2.3.2.3.2.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Этап 2.3.2.3.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 2.3.3

По правилу степени интеграл $x^{- \frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Этап 2.3.4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Перепишем $\frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ в виде $\frac{1}{2} \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.2.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{2}{2} x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.4.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.2.2.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{2}{2} x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.4.2.2.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 1 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.4.2.3

Умножим $x^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$- \frac{1}{y} = x^{\frac{1}{2}} + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$y, 1, 1$

Этап 3.1.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$y$

Этап 3.2

Каждый член в $- \frac{1}{y} = x^{\frac{1}{2}} + K$ умножим на $y$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим каждый член $- \frac{1}{y} = x^{\frac{1}{2}} + K$ на $y$ .

$- \frac{1}{y} y = x^{\frac{1}{2}} y + K y$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{y}$ в числитель.

$\frac{- 1}{y} y = x^{\frac{1}{2}} y + K y$

Этап 3.2.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{y} y = x^{\frac{1}{2}} y + K y$

Этап 3.2.2.1.3

Перепишем это выражение.

$- 1 = x^{\frac{1}{2}} y + K y$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Изменим порядок множителей в $x^{\frac{1}{2}} y + K y$ .

$- 1 = y x^{\frac{1}{2}} + K y$

Этап 3.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $y x^{\frac{1}{2}} + K y = - 1$ .

$y x^{\frac{1}{2}} + K y = - 1$

Этап 3.3.2

Вынесем множитель $y$ из $y x^{\frac{1}{2}} + K y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Вынесем множитель $y$ из $y x^{\frac{1}{2}}$ .

$y (x^{\frac{1}{2}}) + K y = - 1$

Этап 3.3.2.2

Вынесем множитель $y$ из $K y$ .

$y (x^{\frac{1}{2}}) + y K = - 1$

Этап 3.3.2.3

Вынесем множитель $y$ из $y (x^{\frac{1}{2}}) + y K$ .

$y (x^{\frac{1}{2}} + K) = - 1$

Этап 3.3.3

Разделим каждый член $y (x^{\frac{1}{2}} + K) = - 1$ на $x^{\frac{1}{2}} + K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Разделим каждый член $y (x^{\frac{1}{2}} + K) = - 1$ на $x^{\frac{1}{2}} + K$ .

$\frac{y (x^{\frac{1}{2}} + K)}{x^{\frac{1}{2}} + K} = \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}} + K}$

Этап 3.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}} + K}$

Этап 3.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} + K}$