Математический анализ Примеры

$5 y^{2} + 10 x y y' = 0$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение.

$5 y^{2} + 10 x y \frac{d y}{d x} = 0$

Этап 2

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Решим относительно $\frac{d y}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вычтем $5 y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$10 x y \frac{d y}{d x} = - 5 y^{2}$

Этап 2.1.2

Разделим каждый член $10 x y \frac{d y}{d x} = - 5 y^{2}$ на $10 x y$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Разделим каждый член $10 x y \frac{d y}{d x} = - 5 y^{2}$ на $10 x y$ .

$\frac{10 x y \frac{d y}{d x}}{10 x y} = \frac{- 5 y^{2}}{10 x y}$

Этап 2.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Сократим общий множитель $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{10 x y \frac{d y}{d x}}{10 x y} = \frac{- 5 y^{2}}{10 x y}$

Этап 2.1.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{- 5 y^{2}}{10 x y}$

Этап 2.1.2.2.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{- 5 y^{2}}{10 x y}$

Этап 2.1.2.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{- 5 y^{2}}{10 x y}$

Этап 2.1.2.2.3

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{- 5 y^{2}}{10 x y}$

Этап 2.1.2.2.3.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 5 y^{2}}{10 x y}$

Этап 2.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1

Сократим общий множитель $- 5$ и $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1.1

Вынесем множитель $5$ из $- 5 y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 (- y^{2})}{10 x y}$

Этап 2.1.2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $5$ из $10 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 (- y^{2})}{5 (2 x y)}$

Этап 2.1.2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 (- y^{2})}{5 (2 x y)}$

Этап 2.1.2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Этап 2.1.2.3.2

Сократим общий множитель $y^{2}$ и $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.2.1

Вынесем множитель $y$ из $- y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- y)}{2 x y}$

Этап 2.1.2.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.2.2.1

Вынесем множитель $y$ из $2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- y)}{y (2 x)}$

Этап 2.1.2.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- y)}{y (2 x)}$

Этап 2.1.2.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y}{2 x}$

Этап 2.1.2.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{2 x}$

Этап 2.2

Умножим обе части на $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (- \frac{y}{2 x})$

Этап 2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{2 x}$

Этап 2.3.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{y}$ в числитель.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} \cdot \frac{y}{2 x}$

Этап 2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} \cdot \frac{y}{2 x}$

Этап 2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{2 x}$

Этап 2.4

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{2 x} d x$

Этап 3

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{1}{2 x} d x$

Этап 3.2

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{2 x} d x$

Этап 3.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{2 x} d x$

Этап 3.3.2

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{x} d x)$

Этап 3.3.3

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} (\ln (| x |) + C_{2})$

Этап 3.3.4

Упростим.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| x |) + C_{2}$

Этап 3.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| y |) = - \frac{1}{2} \ln (| x |) + C$

Этап 4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Объединим $\ln (| x |)$ и $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) = - \frac{\ln (| x |)}{2} + C$

Этап 4.2

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x |)}{2} = C$

Этап 4.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим $\ln (| y |) + \frac{\ln (| x |)}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1.1

Перепишем $\frac{\ln (| x |)}{2}$ в виде $\frac{1}{2} \ln (| x |)$ .

$\ln (| y |) + \frac{1}{2} \ln (| x |) = C$

Этап 4.3.1.1.2

Упростим $\frac{1}{2} \ln (| x |)$ путем переноса $\frac{1}{2}$ под логарифм.

$\ln (| y |) + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Этап 4.3.1.2

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y | {| x |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Этап 4.3.1.3

Изменим порядок множителей в $\ln (| y | {| x |}^{\frac{1}{2}})$ .

$\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}} | y |) = C$

Этап 4.4

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}} | y |)} = e^{C}$

Этап 4.5

Перепишем $\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}} | y |) = C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{C} = {| x |}^{\frac{1}{2}} | y |$

Этап 4.6

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Перепишем уравнение в виде ${| x |}^{\frac{1}{2}} | y | = e^{C}$ .

${| x |}^{\frac{1}{2}} | y | = e^{C}$

Этап 4.6.2

Разделим каждый член ${| x |}^{\frac{1}{2}} | y | = e^{C}$ на ${| x |}^{\frac{1}{2}}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.1

Разделим каждый член ${| x |}^{\frac{1}{2}} | y | = e^{C}$ на ${| x |}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{| x |}^{\frac{1}{2}} | y |}{{| x |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{e^{C}}{{| x |}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.6.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{{| x |}^{\frac{1}{2}} | y |}{{| x |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{e^{C}}{{| x |}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.6.2.2.2

Разделим $| y |$ на $1$ .

$| y | = \frac{e^{C}}{{| x |}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.6.3

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$y = \pm \frac{e^{C}}{{| x |}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 5

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \pm \frac{C}{{| x |}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 5.2

Объединим константы с плюсом или минусом.

$y = C \frac{1}{{| x |}^{\frac{1}{2}}}$