Математический анализ Примеры

$d x + e^{4 x} d y = 0$

Этап 1

Вычтем $d x$ из обеих частей уравнения.

$e^{4 x} d y = - d x$

Этап 2

Умножим обе части на $\frac{1}{e^{4 x}}$ .

$\frac{1}{e^{4 x}} e^{4 x} d y = \frac{1}{e^{4 x}} \cdot - 1 d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель $e^{4 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{e^{4 x}} e^{4 x} d y = \frac{1}{e^{4 x}} \cdot - 1 d x$

Этап 3.1.2

Перепишем это выражение.

$1 d y = \frac{1}{e^{4 x}} \cdot - 1 d x$

Этап 3.2

Объединим $\frac{1}{e^{4 x}}$ и $- 1$ .

$1 d y = \frac{- 1}{e^{4 x}} d x$

Этап 3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$1 d y = - \frac{1}{e^{4 x}} d x$

Этап 4

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int - \frac{1}{e^{4 x}} d x$

Этап 4.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int - \frac{1}{e^{4 x}} d x$

Этап 4.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = - \int \frac{1}{e^{4 x}} d x$

Этап 4.3.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Поменяем знак экспоненты $e^{4 x}$ и вынесем ее из знаменателя.

$y + C_{1} = - \int 1 {(e^{4 x})}^{- 1} d x$

Этап 4.3.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Перемножим экспоненты в ${(e^{4 x})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = - \int 1 e^{4 x \cdot - 1} d x$

Этап 4.3.2.2.1.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$y + C_{1} = - \int 1 e^{- 4 x} d x$

Этап 4.3.2.2.2

Умножим $e^{- 4 x}$ на $1$ .

$y + C_{1} = - \int e^{- 4 x} d x$

Этап 4.3.3

Пусть $u = - 4 x$ . Тогда $d u = - 4 d x$ , следовательно $- \frac{1}{4} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Пусть $u = - 4 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1.1

Дифференцируем $- 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$

Этап 4.3.3.1.2

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.3.3.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 4 \cdot 1$

Этап 4.3.3.1.4

Умножим $- 4$ на $1$ .

$- 4$

Этап 4.3.3.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$y + C_{1} = - \int e^{u} \frac{1}{- 4} d u$

Этап 4.3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y + C_{1} = - \int e^{u} (- \frac{1}{4}) d u$

Этап 4.3.4.2

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{4}$ .

$y + C_{1} = - \int - \frac{e^{u}}{4} d u$

Этап 4.3.5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = - - \int \frac{e^{u}}{4} d u$

Этап 4.3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y + C_{1} = 1 \int \frac{e^{u}}{4} d u$

Этап 4.3.6.2

Умножим $\int \frac{e^{u}}{4} d u$ на $1$ .

$y + C_{1} = \int \frac{e^{u}}{4} d u$

Этап 4.3.7

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \int e^{u} d u$

Этап 4.3.8

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (e^{u} + C_{2})$

Этап 4.3.9

Упростим.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} e^{u} + C_{2}$

Этап 4.3.10

Заменим все вхождения $u$ на $- 4 x$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} e^{- 4 x} + C_{2}$

Этап 4.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = \frac{1}{4} e^{- 4 x} + K$