Математический анализ Примеры

$3 x (y - 2) d x + (x^{2} + 1) d y = 0$

Этап 1

Вычтем $3 x (y - 2) d x$ из обеих частей уравнения.

$(x^{2} + 1) d y = - 3 x (y - 2) d x$

Этап 2

Умножим обе части на $\frac{1}{(x^{2} + 1) (y - 2)}$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 1) (y - 2)} (x^{2} + 1) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) (y - 2)} (- 3 x (y - 2)) d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель $x^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{(x^{2} + 1) (y - 2)} (x^{2} + 1) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) (y - 2)} (- 3 x (y - 2)) d x$

Этап 3.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y - 2} d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) (y - 2)} (- 3 x (y - 2)) d x$

Этап 3.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{y - 2} d y = - 3 \frac{1}{(x^{2} + 1) (y - 2)} (x (y - 2)) d x$

Этап 3.3

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{(x^{2} + 1) (y - 2)}$ .

$\frac{1}{y - 2} d y = \frac{- 3}{(x^{2} + 1) (y - 2)} (x (y - 2)) d x$

Этап 3.4

Сократим общий множитель $y - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вынесем множитель $y - 2$ из $(x^{2} + 1) (y - 2)$ .

$\frac{1}{y - 2} d y = \frac{- 3}{(y - 2) (x^{2} + 1)} (x (y - 2)) d x$

Этап 3.4.2

Вынесем множитель $y - 2$ из $x (y - 2)$ .

$\frac{1}{y - 2} d y = \frac{- 3}{(y - 2) (x^{2} + 1)} ((y - 2) x) d x$

Этап 3.4.3

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y - 2} d y = \frac{- 3}{(y - 2) (x^{2} + 1)} ((y - 2) x) d x$

Этап 3.4.4

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y - 2} d y = \frac{- 3}{x^{2} + 1} x d x$

Этап 3.5

Объединим $\frac{- 3}{x^{2} + 1}$ и $x$ .

$\frac{1}{y - 2} d y = \frac{- 3 x}{x^{2} + 1} d x$

Этап 3.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{y - 2} d y = - \frac{3 x}{x^{2} + 1} d x$

Этап 4

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y - 2} d y = \int - \frac{3 x}{x^{2} + 1} d x$

Этап 4.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Пусть $u_{1} = y - 2$ . Тогда $d u_{1} = d y$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Пусть $u_{1} = y - 2$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Дифференцируем $y - 2$ .

$\frac{d}{d y} [y - 2]$

Этап 4.2.1.1.2

По правилу суммы производная $y - 2$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]$

Этап 4.2.1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 2]$

Этап 4.2.1.1.4

Поскольку $- 2$ является константой относительно $y$ , производная $- 2$ относительно $y$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 4.2.1.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 4.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{3 x}{x^{2} + 1} d x$

Этап 4.2.2

Интеграл $\frac{1}{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{3 x}{x^{2} + 1} d x$

Этап 4.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $y - 2$ .

$\ln (| y - 2 |) + C_{1} = \int - \frac{3 x}{x^{2} + 1} d x$

Этап 4.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\ln (| y - 2 |) + C_{1} = - \int \frac{3 x}{x^{2} + 1} d x$

Этап 4.3.2

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$\ln (| y - 2 |) + C_{1} = - (3 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x)$

Этап 4.3.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\ln (| y - 2 |) + C_{1} = - 3 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Этап 4.3.4

Пусть $u_{2} = x^{2} + 1$ . Тогда $d u_{2} = 2 x d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Пусть $u_{2} = x^{2} + 1$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1.1

Дифференцируем $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Этап 4.3.4.1.2

По правилу суммы производная $x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.3.4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.3.4.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 x + 0$

Этап 4.3.4.1.5

Добавим $2 x$ и $0$ .

$2 x$

Этап 4.3.4.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\ln (| y - 2 |) + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Этап 4.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Умножим $\frac{1}{u_{2}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y - 2 |) + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Этап 4.3.5.2

Перенесем $2$ влево от $u_{2}$ .

$\ln (| y - 2 |) + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Этап 4.3.6

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\ln (| y - 2 |) + C_{1} = - 3 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Этап 4.3.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 3$ .

$\ln (| y - 2 |) + C_{1} = \frac{- 3}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 4.3.7.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\ln (| y - 2 |) + C_{1} = - \frac{3}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 4.3.8

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| y - 2 |) + C_{1} = - \frac{3}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Этап 4.3.9

Упростим.

$\ln (| y - 2 |) + C_{1} = - \frac{3}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Этап 4.3.10

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x^{2} + 1$ .

$\ln (| y - 2 |) + C_{1} = - \frac{3}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C_{2}$

Этап 4.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| y - 2 |) = - \frac{3}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

Этап 5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

Объединим $\ln (| x^{2} + 1 |)$ и $\frac{3}{2}$ .

$\ln (| y - 2 |) = - \frac{\ln (| x^{2} + 1 |) \cdot 3}{2} + C$

Этап 5.1.1.2

Перенесем $3$ влево от $\ln (| x^{2} + 1 |)$ .

$\ln (| y - 2 |) = - \frac{3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C$

Этап 5.2

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| y - 2 |) + \frac{3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Этап 5.3

Чтобы записать $\ln (| y - 2 |)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| y - 2 |) \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Этап 5.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Объединим $\ln (| y - 2 |)$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (| y - 2 |) \cdot 2}{2} + \frac{3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Этап 5.4.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\ln (| y - 2 |) \cdot 2 + 3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Этап 5.5

Перенесем $2$ влево от $\ln (| y - 2 |)$ .

$\frac{2 \ln (| y - 2 |) + 3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Этап 5.6

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Упростим $\frac{2 \ln (| y - 2 |) + 3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.1.1

Упростим $2 \ln (| y - 2 |)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\frac{\ln ({| y - 2 |}^{2}) + 3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Этап 5.6.1.1.2

Уберем знак модуля в ${| y - 2 |}^{2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$\frac{\ln ({(y - 2)}^{2}) + 3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Этап 5.6.1.1.3

Упростим $3 \ln (| x^{2} + 1 |)$ путем переноса $3$ под логарифм.

$\frac{\ln ({(y - 2)}^{2}) + \ln ({| x^{2} + 1 |}^{3})}{2} = C$

Этап 5.6.1.1.4

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\ln ({(y - 2)}^{2} {| x^{2} + 1 |}^{3})}{2} = C$

Этап 5.6.1.2

Перепишем $\frac{\ln ({(y - 2)}^{2} {| x^{2} + 1 |}^{3})}{2}$ в виде $\frac{1}{2} \ln ({(y - 2)}^{2} {| x^{2} + 1 |}^{3})$ .

$\frac{1}{2} \ln ({(y - 2)}^{2} {| x^{2} + 1 |}^{3}) = C$

Этап 5.6.1.3

Упростим $\frac{1}{2} \ln ({(y - 2)}^{2} {| x^{2} + 1 |}^{3})$ путем переноса $\frac{1}{2}$ под логарифм.

$\ln ({({(y - 2)}^{2} {| x^{2} + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}) = C$

Этап 5.6.1.4

Применим правило умножения к ${(y - 2)}^{2} {| x^{2} + 1 |}^{3}$ .

$\ln ({({(y - 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {({| x^{2} + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}) = C$

Этап 5.6.1.5

Перемножим экспоненты в ${({(y - 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln ({(y - 2)}^{2 (\frac{1}{2})} {({| x^{2} + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}) = C$

Этап 5.6.1.5.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.5.2.1

Сократим общий множитель.

$\ln ({(y - 2)}^{2 (\frac{1}{2})} {({| x^{2} + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}) = C$

Этап 5.6.1.5.2.2

Перепишем это выражение.

$\ln ({(y - 2)}^{1} {({| x^{2} + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}) = C$

Этап 5.6.1.6

Упростим.

$\ln ((y - 2) {({| x^{2} + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}) = C$

Этап 5.6.1.7

Перемножим экспоненты в ${({| x^{2} + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.7.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln ((y - 2) {| x^{2} + 1 |}^{3 (\frac{1}{2})}) = C$

Этап 5.6.1.7.2

Объединим $3$ и $\frac{1}{2}$ .

$\ln ((y - 2) {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}) = C$

Этап 5.6.1.8

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} - 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}) = C$

Этап 5.7

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} - 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}})} = e^{C}$

Этап 5.8

Перепишем $\ln (y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} - 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}) = C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{C} = y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} - 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$

Этап 5.9

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.1

Перепишем уравнение в виде $y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} - 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} = e^{C}$ .

$y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} - 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} = e^{C}$

Этап 5.9.2

Добавим $2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ к обеим частям уравнения.

$y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} = e^{C} + 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$

Этап 5.9.3

Разделим каждый член $y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} = e^{C} + 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ на ${| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.3.1

Разделим каждый член $y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} = e^{C} + 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ на ${| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} = \frac{e^{C}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} + \frac{2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 5.9.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} = \frac{e^{C}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} + \frac{2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 5.9.3.2.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{e^{C}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} + \frac{2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 5.9.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.3.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{e^{C} + 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 6

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{C + 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$