Математический анализ Примеры

$(x + 1) d y + (2 y + 1 - 2 \cos (x)) d x = 0$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде, подходящем для применения метода решения уравнения в полных дифференциалах.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем.

$(2 y + 1 - 2 \cos (x)) d x + (x + 1) d y = 0$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = 2 y + 1 - 2 \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 y + 1 - 2 \cos (x)]$

Этап 2.2

По правилу суммы производная $2 y + 1 - 2 \cos (x)$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- 2 \cos (x)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- 2 \cos (x)]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $y$ , производная $2 y$ по $y$ равна $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- 2 \cos (x)]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- 2 \cos (x)]$

Этап 2.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + \frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- 2 \cos (x)]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 0 + \frac{d}{d y} [- 2 \cos (x)]$

Этап 2.4.2

Поскольку $- 2 \cos (x)$ является константой относительно $y$ , производная $- 2 \cos (x)$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 0 + 0$

Этап 2.5

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Добавим $2$ и $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 0$

Этап 2.5.2

Добавим $2$ и $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2$

Этап 3

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 3.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 0$

Этап 3.5

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Этап 4

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $2$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $1$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 = 1$

Этап 4.2

Так как левая часть не равна правой, уравнение не является тождеством.

$2 = 1$ не является тождеством.

Этап 5

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $2$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{2 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Этап 5.2

Подставим $1$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{2 - 1}{N}$

Этап 5.3

Подставим $x + 1$ вместо $N$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Подставим $x + 1$ вместо $N$ .

$\frac{2 - 1}{x + 1}$

Этап 5.3.2

Вычтем $1$ из $2$ .

$\frac{1}{x + 1}$

Этап 5.4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{x + 1} d x}$

Этап 6

Найдем интеграл $e^{\int \frac{1}{x + 1} d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть $u = x + 1$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Пусть $u = x + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

Дифференцируем $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 6.1.1.2

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 6.1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 6.1.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 6.1.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 6.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{u} d u}$

Этап 6.2

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| u |) + C}$

Этап 6.3

Упростим.

$μ (x, y) = e^{\ln (| u |)} + C$

Этап 6.4

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$μ (x, y) = | u | + C$

Этап 6.5

Заменим все вхождения $u$ на $x + 1$ .

$μ (x, y) = | x + 1 | + C$

Этап 7

Умножим обе стороны $(2 y + 1 - 2 \cos (x)) d x + (x + 1) d y = 0$ на коэффициент интегрирования $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $2 y + 1 - 2 \cos (x)$ на $x + 1$ .

$(2 y + 1 - 2 \cos (x)) (x + 1) d x + (x + 1) d y = 0$

Этап 7.2

Развернем $(2 y + 1 - 2 \cos (x)) (x + 1)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$(2 y x + 2 y \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1 - 2 \cos (x) x - 2 \cos (x) \cdot 1) d x + (x + 1) d y = 0$

Этап 7.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Умножим $2$ на $1$ .

$(2 y x + 2 y + 1 x + 1 \cdot 1 - 2 \cos (x) x - 2 \cos (x) \cdot 1) d x + (x + 1) d y = 0$

Этап 7.3.2

Умножим $x$ на $1$ .

$(2 y x + 2 y + x + 1 \cdot 1 - 2 \cos (x) x - 2 \cos (x) \cdot 1) d x + (x + 1) d y = 0$

Этап 7.3.3

Умножим $1$ на $1$ .

$(2 y x + 2 y + x + 1 - 2 \cos (x) x - 2 \cos (x) \cdot 1) d x + (x + 1) d y = 0$

Этап 7.3.4

Умножим $- 2$ на $1$ .

$(2 y x + 2 y + x + 1 - 2 \cos (x) x - 2 \cos (x)) d x + (x + 1) d y = 0$

Этап 7.4

Изменим порядок множителей в $2 y x + 2 y + x + 1 - 2 \cos (x) x - 2 \cos (x)$ .

$(2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)) d x + (x + 1) d y = 0$

Этап 7.5

Умножим $x + 1$ на $x + 1$ .

$(2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)) d x + (x + 1) (x + 1) d y = 0$

Этап 7.6

Развернем $(x + 1) (x + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)) d x + (x (x + 1) + 1 (x + 1)) d y = 0$

Этап 7.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)) d x + (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)) d y = 0$

Этап 7.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)) d x + (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) d y = 0$

Этап 7.7

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$(2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)) d x + (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) d y = 0$

Этап 7.7.1.2

Умножим $x$ на $1$ .

$(2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)) d x + (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1) d y = 0$

Этап 7.7.1.3

Умножим $x$ на $1$ .

$(2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)) d x + (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1) d y = 0$

Этап 7.7.1.4

Умножим $1$ на $1$ .

$(2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)) d x + (x^{2} + x + x + 1) d y = 0$

Этап 7.7.2

Добавим $x$ и $x$ .

$(2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)) d x + (x^{2} + 2 x + 1) d y = 0$

Этап 8

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{2} + 2 x + 1 d y$

Этап 9

Проинтегрируем $N (x, y) = x^{2} + 2 x + 1$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$f (x, y) = (x^{2} + 2 x + 1) y + C$

Этап 10

Так как интеграл $g (x)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (x)$ .

$f (x, y) = (x^{2} + 2 x + 1) y + g (x)$

Этап 11

Зададим $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$

Этап 12

Найдем $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Продифференцируем $f$ по $x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + 2 x + 1) y + g (x)] = 2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$

Этап 12.2

По правилу суммы производная $(x^{2} + 2 x + 1) y + g (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [(x^{2} + 2 x + 1) y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + 2 x + 1) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$

Этап 12.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [(x^{2} + 2 x + 1) y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $(x^{2} + 2 x + 1) y$ по $x$ равна $y \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]$ .

$y \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$

Этап 12.3.2

По правилу суммы производная $x^{2} + 2 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$y (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$

Этап 12.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$y (2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$

Этап 12.3.4

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y (2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$

Этап 12.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$y (2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$

Этап 12.3.6

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$y (2 x + 2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$

Этап 12.3.7

Умножим $2$ на $1$ .

$y (2 x + 2 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$

Этап 12.3.8

Добавим $2 x + 2$ и $0$ .

$y (2 x + 2) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$

Этап 12.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (x)$ равна $\frac{d g}{d x}$ .

$y (2 x + 2) + \frac{d g}{d x} = 2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$

Этап 12.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y (2 x) + y \cdot 2 + \frac{d g}{d x} = 2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$

Этап 12.5.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.2.1

Перенесем $2$ влево от $y$ .

$2 \cdot y x + y \cdot 2 + \frac{d g}{d x} = 2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$

Этап 12.5.2.2

Перенесем $2$ влево от $y$ .

$2 y x + 2 y + \frac{d g}{d x} = 2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$

Этап 12.5.3

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d x} + 2 x y + 2 y = 2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$

Этап 13

Решим относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Перенесем все члены без $\frac{d g}{d x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Вычтем $2 x y$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d x} + 2 y = 2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x) - 2 x y$

Этап 13.1.2

Вычтем $2 y$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d x} = 2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x) - 2 x y - 2 y$

Этап 13.1.3

Объединим противоположные члены в $2 y x + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x) - 2 x y - 2 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.3.1

Изменим порядок множителей в членах $2 y x$ и $- 2 x y$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x y + 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x) - 2 x y - 2 y$

Этап 13.1.3.2

Вычтем $2 x y$ из $2 x y$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x) + 0 - 2 y$

Этап 13.1.3.3

Добавим $2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$ и $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 y + x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x) - 2 y$

Этап 13.1.3.4

Вычтем $2 y$ из $2 y$ .

$\frac{d g}{d x} = x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x) + 0$

Этап 13.1.3.5

Добавим $x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$ и $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$

Этап 14

Найдем первообразную $x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$ , чтобы найти $g (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d x} = x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x)$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x) d x$

Этап 14.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x + 1 - 2 x \cos (x) - 2 \cos (x) d x$

Этап 14.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$g (x) = \int x d x + \int d x + \int - 2 x \cos (x) d x + \int - 2 \cos (x) d x$

Этап 14.4

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C + \int d x + \int - 2 x \cos (x) d x + \int - 2 \cos (x) d x$

Этап 14.5

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C + x + C + \int - 2 x \cos (x) d x + \int - 2 \cos (x) d x$

Этап 14.6

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C + x + C - 2 \int x \cos (x) d x + \int - 2 \cos (x) d x$

Этап 14.7

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = \cos (x)$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C + x + C - 2 (x \sin (x) - \int \sin (x) d x) + \int - 2 \cos (x) d x$

Этап 14.8

Интеграл $\sin (x)$ по $x$ имеет вид $- \cos (x)$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C + x + C - 2 (x \sin (x) - (- \cos (x) + C)) + \int - 2 \cos (x) d x$

Этап 14.9

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C + x + C - 2 (x \sin (x) - (- \cos (x) + C)) - 2 \int \cos (x) d x$

Этап 14.10

Интеграл $\cos (x)$ по $x$ имеет вид $\sin (x)$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C + x + C - 2 (x \sin (x) - (- \cos (x) + C)) - 2 (\sin (x) + C)$

Этап 14.11

Упростим.

$g (x) = \frac{x^{2}}{2} + x - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x) - 2 \sin (x) + C$

Этап 14.12

Изменим порядок членов.

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + x - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x) - 2 \sin (x) + C$

Этап 15

Подставим выражение для $g (x)$ в $f (x, y) = (x^{2} + 2 x + 1) y + g (x)$ .

$f (x, y) = (x^{2} + 2 x + 1) y + \frac{1}{2} x^{2} + x - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x) - 2 \sin (x) + C$

Этап 16

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x, y) = x^{2} y + 2 x y + 1 y + \frac{1}{2} x^{2} + x - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x) - 2 \sin (x) + C$

Этап 16.2

Умножим $y$ на $1$ .

$f (x, y) = x^{2} y + 2 x y + y + \frac{1}{2} x^{2} + x - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x) - 2 \sin (x) + C$

Этап 16.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$f (x, y) = x^{2} y + 2 x y + y + \frac{x^{2}}{2} + x - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x) - 2 \sin (x) + C$