Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d t} + y^{2} \cos (2 t) = 0$ , $y (0) = 1$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $y^{2} \cos (2 t)$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d y}{d t} = - y^{2} \cos (2 t)$

Этап 1.2

Умножим обе части на $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y^{2}} (- y^{2} \cos (2 t))$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = - \frac{1}{y^{2}} (y^{2} \cos (2 t))$

Этап 1.3.2

Сократим общий множитель $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{y^{2}}$ в числитель.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{- 1}{y^{2}} (y^{2} \cos (2 t))$

Этап 1.3.2.2

Вынесем множитель $y^{2}$ из $y^{2} \cos (2 t)$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{- 1}{y^{2}} (y^{2} (\cos (2 t)))$

Этап 1.3.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{- 1}{y^{2}} (y^{2} \cos (2 t))$

Этап 1.3.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = - \cos (2 t)$

Этап 1.4

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y^{2}} d y = - \cos (2 t) d t$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int - \cos (2 t) d t$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем $y^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int - \cos (2 t) d t$

Этап 2.2.1.2

Перемножим экспоненты в ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int - \cos (2 t) d t$

Этап 2.2.1.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int - \cos (2 t) d t$

Этап 2.2.2

По правилу степени интеграл $y^{- 2}$ по $y$ имеет вид $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int - \cos (2 t) d t$

Этап 2.2.3

Перепишем $- y^{- 1} + C_{1}$ в виде $- \frac{1}{y} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int - \cos (2 t) d t$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int \cos (2 t) d t$

Этап 2.3.2

Пусть $u = 2 t$ . Тогда $d u = 2 d t$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d t$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Пусть $u = 2 t$ . Найдем $\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Дифференцируем $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Этап 2.3.2.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $t$ , производная $2 t$ по $t$ равна $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Этап 2.3.2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 2.3.2.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 2.3.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int \cos (u) \frac{1}{2} d u$

Этап 2.3.3

Объединим $\cos (u)$ и $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int \frac{\cos (u)}{2} d u$

Этап 2.3.4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Этап 2.3.5

Интеграл $\cos (u)$ по $u$ имеет вид $\sin (u)$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \frac{1}{2} (\sin (u) + C_{2})$

Этап 2.3.6

Упростим.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \frac{1}{2} \sin (u) + C_{2}$

Этап 2.3.7

Заменим все вхождения $u$ на $2 t$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \frac{1}{2} \sin (2 t) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$- \frac{1}{y} = - \frac{1}{2} \sin (2 t) + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $\sin (2 t)$ и $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{y} = - \frac{\sin (2 t)}{2} + K$

Этап 3.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$y, 2, 1$

Этап 3.2.2

Так как $y, 2, 1$ содержит и числа, и переменные, НОК можно найти в два этапа. Найдем НОК для числовой части $1, 2, 1$ , затем найдем НОК для части с переменной $y^{1}$ .

Этап 3.2.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 3.2.4

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 3.2.5

Поскольку $2$ не имеет множителей, кроме $1$ и $2$ .

$2$ — простое число

Этап 3.2.6

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 3.2.7

НОК $1, 2, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$2$

Этап 3.2.8

Множителем $y^{1}$ является само значение $y$ .

$y^{1} = y$

$y$ встречается $1$ раз.

Этап 3.2.9

НОК $y^{1}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$y$

Этап 3.2.10

НОК $y, 2, 1$ представляет собой произведение числовой части $2$ и переменной части.

$2 y$

Этап 3.3

Каждый член в $- \frac{1}{y} = - \frac{\sin (2 t)}{2} + K$ умножим на $2 y$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим каждый член $- \frac{1}{y} = - \frac{\sin (2 t)}{2} + K$ на $2 y$ .

$- \frac{1}{y} (2 y) = - \frac{\sin (2 t)}{2} (2 y) + K (2 y)$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{y}$ в числитель.

$\frac{- 1}{y} (2 y) = - \frac{\sin (2 t)}{2} (2 y) + K (2 y)$

Этап 3.3.2.1.2

Вынесем множитель $y$ из $2 y$ .

$\frac{- 1}{y} (y \cdot 2) = - \frac{\sin (2 t)}{2} (2 y) + K (2 y)$

Этап 3.3.2.1.3

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{y} (y \cdot 2) = - \frac{\sin (2 t)}{2} (2 y) + K (2 y)$

Этап 3.3.2.1.4

Перепишем это выражение.

$- 1 \cdot 2 = - \frac{\sin (2 t)}{2} (2 y) + K (2 y)$

Этап 3.3.2.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 = - \frac{\sin (2 t)}{2} (2 y) + K (2 y)$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\sin (2 t)}{2}$ в числитель.

$- 2 = \frac{- \sin (2 t)}{2} (2 y) + K (2 y)$

Этап 3.3.3.1.1.2

Вынесем множитель $2$ из $2 y$ .

$- 2 = \frac{- \sin (2 t)}{2} (2 (y)) + K (2 y)$

Этап 3.3.3.1.1.3

Сократим общий множитель.

$- 2 = \frac{- \sin (2 t)}{2} (2 y) + K (2 y)$

Этап 3.3.3.1.1.4

Перепишем это выражение.

$- 2 = - \sin (2 t) y + K (2 y)$

Этап 3.3.3.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 2 = - \sin (2 t) y + 2 K y$

Этап 3.3.3.2

Изменим порядок множителей в $- \sin (2 t) y + 2 K y$ .

$- 2 = - y \sin (2 t) + 2 K y$

Этап 3.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем уравнение в виде $- y \sin (2 t) + 2 K y = - 2$ .

$- y \sin (2 t) + 2 K y = - 2$

Этап 3.4.2

Вынесем множитель $y$ из $- y \sin (2 t) + 2 K y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Вынесем множитель $y$ из $- y \sin (2 t)$ .

$y (- 1 \sin (2 t)) + 2 K y = - 2$

Этап 3.4.2.2

Вынесем множитель $y$ из $2 K y$ .

$y (- 1 \sin (2 t)) + y (2 K) = - 2$

Этап 3.4.2.3

Вынесем множитель $y$ из $y (- 1 \sin (2 t)) + y (2 K)$ .

$y (- 1 \sin (2 t) + 2 K) = - 2$

Этап 3.4.3

Перепишем $- 1 \sin (2 t)$ в виде $- \sin (2 t)$ .

$y (- \sin (2 t) + 2 K) = - 2$

Этап 3.4.4

Разделим каждый член $y (- \sin (2 t) + 2 K) = - 2$ на $- \sin (2 t) + 2 K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Разделим каждый член $y (- \sin (2 t) + 2 K) = - 2$ на $- \sin (2 t) + 2 K$ .

$\frac{y (- \sin (2 t) + 2 K)}{- \sin (2 t) + 2 K} = \frac{- 2}{- \sin (2 t) + 2 K}$

Этап 3.4.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.1

Сократим общий множитель $- \sin (2 t) + 2 K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (- \sin (2 t) + 2 K)}{- \sin (2 t) + 2 K} = \frac{- 2}{- \sin (2 t) + 2 K}$

Этап 3.4.4.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- 2}{- \sin (2 t) + 2 K}$

Этап 3.4.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{2}{- \sin (2 t) + 2 K}$

Этап 3.4.4.3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sin (2 t)$ .

$y = - \frac{2}{- (\sin (2 t)) + 2 K}$

Этап 3.4.4.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $2 K$ .

$y = - \frac{2}{- (\sin (2 t)) - (- 2 K)}$

Этап 3.4.4.3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (\sin (2 t)) - (- 2 K)$ .

$y = - \frac{2}{- (\sin (2 t) - 2 K)}$

Этап 3.4.4.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.3.5.1

Перепишем $- (\sin (2 t) - 2 K)$ в виде $- 1 (\sin (2 t) - 2 K)$ .

$y = - \frac{2}{- 1 (\sin (2 t) - 2 K)}$

Этап 3.4.4.3.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - - \frac{2}{\sin (2 t) - 2 K}$

Этап 3.4.4.3.5.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y = 1 \frac{2}{\sin (2 t) - 2 K}$

Этап 3.4.4.3.5.4

Умножим $\frac{2}{\sin (2 t) - 2 K}$ на $1$ .

$y = \frac{2}{\sin (2 t) - 2 K}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{2}{\sin (2 t) + K}$

Этап 5

Используем начальное условие, чтобы найти значение $K$ , подставив $0$ вместо $t$ и $1$ вместо $y$ в $y = \frac{2}{\sin (2 t) + K}$ .

$1 = \frac{2}{\sin (2 \cdot 0) + K}$

Этап 6

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{2}{\sin (2 \cdot 0) + K} = 1$ .

$\frac{2}{\sin (2 \cdot 0) + K} = 1$

Этап 6.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{2}{\sin (0) + K} = 1$

Этап 6.2.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{2}{0 + K} = 1$

Этап 6.2.3

Добавим $0$ и $K$ .

$\frac{2}{K} = 1$

Этап 6.3

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$K, 1$

Этап 6.3.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$K$

Этап 6.4

Каждый член в $\frac{2}{K} = 1$ умножим на $K$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Умножим каждый член $\frac{2}{K} = 1$ на $K$ .

$\frac{2}{K} K = 1 K$

Этап 6.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Сократим общий множитель $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{K} K = 1 K$

Этап 6.4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$2 = 1 K$

Этап 6.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.1

Умножим $K$ на $1$ .

$2 = K$

Этап 6.5

Перепишем уравнение в виде $K = 2$ .

$K = 2$

Этап 7

Подставим $2$ вместо $K$ в $y = \frac{2}{\sin (2 t) + K}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Подставим $2$ вместо $K$ .

$y = \frac{2}{\sin (2 t) + 2}$