Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = e^{2 x} \cos^{2} (y)$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{\cos^{2} (y)}$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} (y)} (e^{2 x} \cos^{2} (y))$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $\cos^{2} (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $\cos^{2} (y)$ из $e^{2 x} \cos^{2} (y)$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} (y)} (\cos^{2} (y) e^{2 x})$

Этап 1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} (y)} (\cos^{2} (y) e^{2 x})$

Этап 1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = e^{2 x}$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} d y = e^{2 x} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{\cos^{2} (y)} d y = \int e^{2 x} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Переведем $\frac{1}{\cos^{2} (y)}$ в $\sec^{2} (y)$ .

$\int \sec^{2} (y) d y = \int e^{2 x} d x$

Этап 2.2.2

Поскольку производная $\tan (y)$ равна $\sec^{2} (y)$ , интеграл $\sec^{2} (y)$ равен $\tan (y)$ .

$\tan (y) + C_{1} = \int e^{2 x} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Пусть $u = 2 x$ . Тогда $d u = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Пусть $u = 2 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Дифференцируем $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 2.3.1.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 2.3.1.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 2.3.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\tan (y) + C_{1} = \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Этап 2.3.2

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{2}$ .

$\tan (y) + C_{1} = \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Этап 2.3.3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\tan (y) + C_{1} = \frac{1}{2} \int e^{u} d u$

Этап 2.3.4

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$\tan (y) + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u} + C_{2})$

Этап 2.3.5

Упростим.

$\tan (y) + C_{1} = \frac{1}{2} e^{u} + C_{2}$

Этап 2.3.6

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$\tan (y) + C_{1} = \frac{1}{2} e^{2 x} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\tan (y) = \frac{1}{2} e^{2 x} + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим $\frac{1}{2} \cdot e^{2 x} + K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $e^{2 x}$ .

$\tan (y) = \frac{e^{2 x}}{2} + K$

Этап 3.1.2

Изменим порядок $\frac{e^{2 x}}{2}$ и $K$ .

$\tan (y) = K + \frac{e^{2 x}}{2}$

Этап 3.2

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из тангенса.

$y = \arctan (K + \frac{e^{2 x}}{2})$