Математический анализ Примеры

$x^{2} d y + (y - 1) d x = 0$

Этап 1

Вычтем $(y - 1) d x$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} d y = - (y - 1) d x$

Этап 2

Умножим обе части на $\frac{1}{x^{2} (y - 1)}$ .

$\frac{1}{x^{2} (y - 1)} x^{2} d y = \frac{1}{x^{2} (y - 1)} (- (y - 1)) d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{x^{2} (y - 1)} x^{2} d y = \frac{1}{x^{2} (y - 1)} (- (y - 1)) d x$

Этап 3.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y - 1} d y = \frac{1}{x^{2} (y - 1)} (- (y - 1)) d x$

Этап 3.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{y - 1} d y = - \frac{1}{x^{2} (y - 1)} (y - 1) d x$

Этап 3.3

Сократим общий множитель $y - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{x^{2} (y - 1)}$ в числитель.

$\frac{1}{y - 1} d y = \frac{- 1}{x^{2} (y - 1)} (y - 1) d x$

Этап 3.3.2

Вынесем множитель $y - 1$ из $x^{2} (y - 1)$ .

$\frac{1}{y - 1} d y = \frac{- 1}{(y - 1) x^{2}} (y - 1) d x$

Этап 3.3.3

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y - 1} d y = \frac{- 1}{(y - 1) x^{2}} (y - 1) d x$

Этап 3.3.4

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y - 1} d y = \frac{- 1}{x^{2}} d x$

Этап 3.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{y - 1} d y = - \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 4

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y - 1} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 4.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Пусть $u = y - 1$ . Тогда $d u = d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Пусть $u = y - 1$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Дифференцируем $y - 1$ .

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

Этап 4.2.1.1.2

По правилу суммы производная $y - 1$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Этап 4.2.1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Этап 4.2.1.1.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $y$ , производная $- 1$ относительно $y$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 4.2.1.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 4.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 4.2.2

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 4.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y - 1$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 4.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 4.3.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Этап 4.3.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Этап 4.3.2.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \int x^{- 2} d x$

Этап 4.3.3

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - (- x^{- 1} + C_{2})$

Этап 4.3.4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Перепишем $- (- x^{- 1} + C_{2})$ в виде $- - \frac{1}{x} + C_{2}$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - - \frac{1}{x} + C_{2}$

Этап 4.3.4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = 1 \frac{1}{x} + C_{2}$

Этап 4.3.4.2.2

Умножим $\frac{1}{x}$ на $1$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = \frac{1}{x} + C_{2}$

Этап 4.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| y - 1 |) = \frac{1}{x} + C$

Этап 5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| y - 1 |)} = e^{\frac{1}{x} + C}$

Этап 5.2

Перепишем $\ln (| y - 1 |) = \frac{1}{x} + C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{x} + C} = | y - 1 |$

Этап 5.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Перепишем уравнение в виде $| y - 1 | = e^{\frac{1}{x} + C}$ .

$| y - 1 | = e^{\frac{1}{x} + C}$

Этап 5.3.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$y - 1 = \pm e^{\frac{1}{x} + C}$

Этап 5.3.3

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$y = \pm e^{\frac{1}{x} + C} + 1$

Этап 6

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем $e^{\frac{1}{x} + C}$ в виде $e^{\frac{1}{x}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{\frac{1}{x}} e^{C} + 1$

Этап 6.2

Изменим порядок $e^{\frac{1}{x}}$ и $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{\frac{1}{x}} + 1$

Этап 6.3

Объединим константы с плюсом или минусом.

$y = C e^{\frac{1}{x}} + 1$