Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d t} + t y = y$ , $y (1) = 3$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $t y$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d y}{d t} = y - t y$

Этап 1.2

Вынесем множитель $y$ из $y - t y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\frac{d y}{d t} = y^{1} - t y$

Этап 1.2.2

Вынесем множитель $y$ из $y^{1}$ .

$\frac{d y}{d t} = y \cdot 1 - t y$

Этап 1.2.3

Вынесем множитель $y$ из $- t y$ .

$\frac{d y}{d t} = y \cdot 1 + y (- t)$

Этап 1.2.4

Вынесем множитель $y$ из $y \cdot 1 + y (- t)$ .

$\frac{d y}{d t} = y (1 - t)$

Этап 1.3

Умножим обе части на $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y} (y (1 - t))$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y} (y (1 - t))$

Этап 1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = 1 - t$

Этап 1.5

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y} d y = (1 - t) d t$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y} d y = \int 1 - t d t$

Этап 2.2

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 1 - t d t$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int d t + \int - t d t$

Этап 2.3.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\ln (| y |) + C_{1} = t + C_{2} + \int - t d t$

Этап 2.3.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\ln (| y |) + C_{1} = t + C_{2} - \int t d t$

Этап 2.3.4

По правилу степени интеграл $t$ по $t$ имеет вид $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = t + C_{2} - (\frac{1}{2} t^{2} + C_{3})$

Этап 2.3.5

Упростим.

$\ln (| y |) + C_{1} = t - \frac{1}{2} t^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.6

Изменим порядок членов.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} t^{2} + t + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| y |) = - \frac{1}{2} t^{2} + t + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- \frac{1}{2} t^{2} + t + C}$

Этап 3.2

Перепишем $\ln (| y |) = - \frac{1}{2} t^{2} + t + C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{2} t^{2} + t + C} = | y |$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $| y | = e^{- \frac{1}{2} t^{2} + t + C}$ .

$| y | = e^{- \frac{1}{2} t^{2} + t + C}$

Этап 3.3.2

Объединим $t^{2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$| y | = e^{- \frac{t^{2}}{2} + t + C}$

Этап 3.3.3

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{- \frac{t^{2}}{2} + t + C}$

Этап 4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $e^{- \frac{t^{2}}{2} + t + C}$ в виде $e^{- \frac{t^{2}}{2} + t} e^{C}$ .

$y = \pm e^{- \frac{t^{2}}{2} + t} e^{C}$

Этап 4.2

Изменим порядок $e^{- \frac{t^{2}}{2} + t}$ и $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{- \frac{t^{2}}{2} + t}$

Этап 4.3

Объединим константы с плюсом или минусом.

$y = C e^{- \frac{t^{2}}{2} + t}$

Этап 5

Используем начальное условие, чтобы найти значение $C$ , подставив $1$ вместо $t$ и $3$ вместо $y$ в $y = C e^{- \frac{t^{2}}{2} + t}$ .

$3 = C e^{- \frac{1^{2}}{2} + 1}$

Этап 6

Решим относительно $C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем уравнение в виде $C e^{- \frac{1^{2}}{2} + 1} = 3$ .

$C e^{- \frac{1^{2}}{2} + 1} = 3$

Этап 6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$C e^{- \frac{1}{2} + 1} = 3$

Этап 6.2.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$C e^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} = 3$

Этап 6.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$C e^{\frac{- 1 + 2}{2}} = 3$

Этап 6.2.4

Добавим $- 1$ и $2$ .

$C e^{\frac{1}{2}} = 3$

Этап 6.3

Разделим каждый член $C e^{\frac{1}{2}} = 3$ на $e^{\frac{1}{2}}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Разделим каждый член $C e^{\frac{1}{2}} = 3$ на $e^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{C e^{\frac{1}{2}}}{e^{\frac{1}{2}}} = \frac{3}{e^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{C e^{\frac{1}{2}}}{e^{\frac{1}{2}}} = \frac{3}{e^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6.3.2.2

Разделим $C$ на $1$ .

$C = \frac{3}{e^{\frac{1}{2}}}$

Этап 7

Подставим $\frac{3}{e^{\frac{1}{2}}}$ вместо $C$ в $y = C e^{- \frac{t^{2}}{2} + t}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Подставим $\frac{3}{e^{\frac{1}{2}}}$ вместо $C$ .

$y = \frac{3}{e^{\frac{1}{2}}} e^{- \frac{t^{2}}{2} + t}$

Этап 7.2

Объединим $\frac{3}{e^{\frac{1}{2}}}$ и $e^{- \frac{t^{2}}{2} + t}$ .

$y = \frac{3 e^{- \frac{t^{2}}{2} + t}}{e^{\frac{1}{2}}}$

Этап 7.3

Вынесем множитель $e^{\frac{1}{2}}$ из $3 e^{- \frac{t^{2}}{2} + t}$ .

$y = \frac{e^{\frac{1}{2}} (3 e^{- \frac{t^{2}}{2} + t - \frac{1}{2}})}{e^{\frac{1}{2}}}$

Этап 7.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Умножим на $1$ .

$y = \frac{e^{\frac{1}{2}} (3 e^{- \frac{t^{2}}{2} + t - \frac{1}{2}})}{e^{\frac{1}{2}} \cdot 1}$

Этап 7.4.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{e^{\frac{1}{2}} (3 e^{- \frac{t^{2}}{2} + t - \frac{1}{2}})}{e^{\frac{1}{2}} \cdot 1}$

Этап 7.4.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{3 e^{- \frac{t^{2}}{2} + t - \frac{1}{2}}}{1}$

Этап 7.4.4

Разделим $3 e^{- \frac{t^{2}}{2} + t - \frac{1}{2}}$ на $1$ .

$y = 3 e^{- \frac{t^{2}}{2} + t - \frac{1}{2}}$