Математический анализ Примеры

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = \cos^{2} (x)$

Этап 1

Проверим, является ли левая часть уравнения результатом дифференцирования члена $x^{2} y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x^{2} y' + y (2 x)$

Этап 1.4

Подставим $\frac{d y}{d x}$ вместо $y'$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + y (2 x)$

Этап 1.5

Избавимся от скобок.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + y \cdot 2 x$

Этап 1.6

Перенесем $y$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y$

Этап 2

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = \cos^{2} (x)$

Этап 3

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int \cos^{2} (x) d x$

Этап 4

Проинтегрируем левую часть.

$x^{2} y = \int \cos^{2} (x) d x$

Этап 5

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Используем формулу половинного угла для записи $\cos^{2} (x)$ в виде $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ .

$x^{2} y = \int \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x$

Этап 5.2

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$x^{2} y = \frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 x) d x$

Этап 5.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$x^{2} y = \frac{1}{2} (\int d x + \int \cos (2 x) d x)$

Этап 5.4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$x^{2} y = \frac{1}{2} (x + C + \int \cos (2 x) d x)$

Этап 5.5

Пусть $u = 2 x$ . Тогда $d u = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Пусть $u = 2 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.1

Дифференцируем $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 5.5.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 5.5.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 5.5.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$x^{2} y = \frac{1}{2} (x + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Этап 5.6

Объединим $\cos (u)$ и $\frac{1}{2}$ .

$x^{2} y = \frac{1}{2} (x + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Этап 5.7

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$x^{2} y = \frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Этап 5.8

Интеграл $\cos (u)$ по $u$ имеет вид $\sin (u)$ .

$x^{2} y = \frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Этап 5.9

Упростим.

$x^{2} y = \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Этап 5.10

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$x^{2} y = \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C$

Этап 5.11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.11.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\sin (2 x)$ .

$x^{2} y = \frac{1}{2} (x + \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Этап 5.11.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} y = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

Этап 5.11.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x$ .

$x^{2} y = \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

Этап 5.11.4

Умножим $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.11.4.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$x^{2} y = \frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2} + C$

Этап 5.11.4.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x^{2} y = \frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

Этап 5.12

Изменим порядок членов.

$x^{2} y = \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

Этап 6

Разделим каждый член $x^{2} y = \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$ на $x^{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим каждый член $x^{2} y = \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$ на $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\frac{1}{2} x}{x^{2}} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Этап 6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\frac{1}{2} x}{x^{2}} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Этап 6.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} x}{x^{2}} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Этап 6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Сократим общий множитель $x$ и $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $\frac{1}{2} x$ .

$y = \frac{x \frac{1}{2}}{x^{2}} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Этап 6.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$y = \frac{x \frac{1}{2}}{x \cdot x} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Этап 6.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{x \frac{1}{2}}{x \cdot x} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Этап 6.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Этап 6.3.1.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$y = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Этап 6.3.1.3

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{x}$ .

$y = \frac{1}{2 x} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Этап 6.3.1.4

Объединим $\frac{1}{4}$ и $\sin (2 x)$ .

$y = \frac{1}{2 x} + \frac{\frac{\sin (2 x)}{4}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Этап 6.3.1.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$y = \frac{1}{2 x} + \frac{\sin (2 x)}{4} \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Этап 6.3.1.6

Объединим.

$y = \frac{1}{2 x} + \frac{\sin (2 x) \cdot 1}{4 x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Этап 6.3.1.7

Умножим $\sin (2 x)$ на $1$ .

$y = \frac{1}{2 x} + \frac{\sin (2 x)}{4 x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$