Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = 2 x^{3}$ , $y (0) = 3$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = 2 x^{3} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int 2 x^{3} d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int 2 x^{3} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = 2 \int x^{3} d x$

Этап 2.3.2

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2})$

Этап 2.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Перепишем $2 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2})$ в виде $2 (\frac{1}{4}) x^{4} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{4}) x^{4} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{4} x^{4} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.2

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 (1)}{4} x^{4} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} x^{4} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} x^{4} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{4} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = \frac{1}{2} x^{4} + K$

Этап 3

Используем начальное условие, чтобы найти значение $K$ , подставив $0$ вместо $x$ и $3$ вместо $y$ в $y = \frac{1}{2} x^{4} + K$ .

$3 = \frac{1}{2} \cdot 0^{4} + K$

Этап 4

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{1}{2} \cdot 0^{4} + K = 3$ .

$\frac{1}{2} \cdot 0^{4} + K = 3$

Этап 4.2

Упростим $\frac{1}{2} \cdot 0^{4} + K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot 0 + K = 3$

Этап 4.2.1.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $0$ .

$0 + K = 3$

Этап 4.2.2

Добавим $0$ и $K$ .

$K = 3$

Этап 5

Подставим $3$ вместо $K$ в $y = \frac{1}{2} x^{4} + K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $3$ вместо $K$ .

$y = \frac{1}{2} x^{4} + 3$

Этап 5.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{4}$ .

$y = \frac{x^{4}}{2} + 3$