Математический анализ Примеры

$\frac{d f}{d t} = 16 t + \frac{5 t}{\sqrt{1 - t^{2}}}$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d f = (16 t + \frac{5 t}{\sqrt{1 - t^{2}}}) d t$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d f = \int 16 t + \frac{5 t}{\sqrt{1 - t^{2}}} d t$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$f + C_{1} = \int 16 t + \frac{5 t}{\sqrt{1 - t^{2}}} d t$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$f + C_{1} = \int 16 t d t + \int \frac{5 t}{\sqrt{1 - t^{2}}} d t$

Этап 2.3.2

Поскольку $16$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $16$ из-под знака интеграла.

$f + C_{1} = 16 \int t d t + \int \frac{5 t}{\sqrt{1 - t^{2}}} d t$

Этап 2.3.3

По правилу степени интеграл $t$ по $t$ имеет вид $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$f + C_{1} = 16 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \int \frac{5 t}{\sqrt{1 - t^{2}}} d t$

Этап 2.3.4

Поскольку $5$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$f + C_{1} = 16 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + 5 \int \frac{t}{\sqrt{1 - t^{2}}} d t$

Этап 2.3.5

Пусть $u = 1 - t^{2}$ . Тогда $d u = - 2 t d t$ , следовательно $- \frac{1}{2} d u = t d t$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Пусть $u = 1 - t^{2}$ . Найдем $\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1.1

Дифференцируем $1 - t^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Этап 2.3.5.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1.2.1

По правилу суммы производная $1 - t^{2}$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t^{2}]$ .

$\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t^{2}]$

Этап 2.3.5.1.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $t$ , производная $1$ относительно $t$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [- t^{2}]$

Этап 2.3.5.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d t} [- t^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $t$ , производная $- t^{2}$ по $t$ равна $- \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Этап 2.3.5.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 - (2 t)$

Этап 2.3.5.1.3.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$0 - 2 t$

Этап 2.3.5.1.4

Вычтем $2 t$ из $0$ .

$- 2 t$

Этап 2.3.5.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$f + C_{1} = 16 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + 5 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Этап 2.3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $t^{2}$ .

$f + C_{1} = 16 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) + 5 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Этап 2.3.6.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f + C_{1} = 16 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) + 5 \int \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{2}) d u$

Этап 2.3.6.3

Умножим $\frac{1}{\sqrt{u}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$f + C_{1} = 16 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) + 5 \int - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

Этап 2.3.6.4

Перенесем $2$ влево от $\sqrt{u}$ .

$f + C_{1} = 16 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) + 5 \int - \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Этап 2.3.7

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$f + C_{1} = 16 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) + 5 (- \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u)$

Этап 2.3.8

Умножим $- 1$ на $5$ .

$f + C_{1} = 16 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) - 5 \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Этап 2.3.9

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$f + C_{1} = 16 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) - 5 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Этап 2.3.10

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.10.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.10.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 5$ .

$f + C_{1} = 16 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) + \frac{- 5}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Этап 2.3.10.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f + C_{1} = 16 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) - \frac{5}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Этап 2.3.10.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.10.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$f + C_{1} = 16 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) - \frac{5}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Этап 2.3.10.2.2

Вынесем $u^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$f + C_{1} = 16 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) - \frac{5}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Этап 2.3.10.2.3

Перемножим экспоненты в ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.10.2.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f + C_{1} = 16 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) - \frac{5}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Этап 2.3.10.2.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$f + C_{1} = 16 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) - \frac{5}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Этап 2.3.10.2.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f + C_{1} = 16 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) - \frac{5}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 2.3.11

По правилу степени интеграл $u^{- \frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$f + C_{1} = 16 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) - \frac{5}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{3})$

Этап 2.3.12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.12.1

Упростим.

$f + C_{1} = 8 t^{2} - \frac{5}{2} (2 u^{\frac{1}{2}}) + C_{4}$

Этап 2.3.12.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.12.2.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f + C_{1} = 8 t^{2} - 2 (\frac{5}{2}) u^{\frac{1}{2}} + C_{4}$

Этап 2.3.12.2.2

Объединим $- 2$ и $\frac{5}{2}$ .

$f + C_{1} = 8 t^{2} + \frac{- 2 \cdot 5}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{4}$

Этап 2.3.12.2.3

Умножим $- 2$ на $5$ .

$f + C_{1} = 8 t^{2} + \frac{- 10}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{4}$

Этап 2.3.12.2.4

Объединим $\frac{- 10}{2}$ и $u^{\frac{1}{2}}$ .

$f + C_{1} = 8 t^{2} + \frac{- 10 u^{\frac{1}{2}}}{2} + C_{4}$

Этап 2.3.12.2.5

Вынесем множитель $2$ из $- 10 u^{\frac{1}{2}}$ .

$f + C_{1} = 8 t^{2} + \frac{2 (- 5 u^{\frac{1}{2}})}{2} + C_{4}$

Этап 2.3.12.2.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.12.2.6.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f + C_{1} = 8 t^{2} + \frac{2 (- 5 u^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} + C_{4}$

Этап 2.3.12.2.6.2

Сократим общий множитель.

$f + C_{1} = 8 t^{2} + \frac{2 (- 5 u^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} + C_{4}$

Этап 2.3.12.2.6.3

Перепишем это выражение.

$f + C_{1} = 8 t^{2} + \frac{- 5 u^{\frac{1}{2}}}{1} + C_{4}$

Этап 2.3.12.2.6.4

Разделим $- 5 u^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$f + C_{1} = 8 t^{2} - 5 u^{\frac{1}{2}} + C_{4}$

Этап 2.3.13

Заменим все вхождения $u$ на $1 - t^{2}$ .

$f + C_{1} = 8 t^{2} - 5 {(1 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$f = 8 t^{2} - 5 {(1 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} + K$