Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = e^{x} \sin (x) + x \cos (x)$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = (e^{x} \sin (x) + x \cos (x)) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int e^{x} \sin (x) + x \cos (x) d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int e^{x} \sin (x) + x \cos (x) d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$y + C_{1} = \int e^{x} \sin (x) d x + \int x \cos (x) d x$

Этап 2.3.2

Изменим порядок $e^{x}$ и $\sin (x)$ .

$y + C_{1} = \int \sin (x) e^{x} d x + \int x \cos (x) d x$

Этап 2.3.3

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \sin (x)$ и $d v = e^{x}$ .

$y + C_{1} = \sin (x) e^{x} - \int e^{x} \cos (x) d x + \int x \cos (x) d x$

Этап 2.3.4

Изменим порядок $e^{x}$ и $\cos (x)$ .

$y + C_{1} = \sin (x) e^{x} - \int \cos (x) e^{x} d x + \int x \cos (x) d x$

Этап 2.3.5

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \cos (x)$ и $d v = e^{x}$ .

$y + C_{1} = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} - \int e^{x} (- \sin (x)) d x) + \int x \cos (x) d x$

Этап 2.3.6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} - - \int e^{x} (\sin (x)) d x) + \int x \cos (x) d x$

Этап 2.3.7

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y + C_{1} = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} + 1 \int e^{x} (\sin (x)) d x) + \int x \cos (x) d x$

Этап 2.3.7.2

Умножим $\int e^{x} (\sin (x)) d x$ на $1$ .

$y + C_{1} = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} + \int e^{x} (\sin (x)) d x) + \int x \cos (x) d x$

Этап 2.3.7.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y + C_{1} = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x}) - \int e^{x} (\sin (x)) d x + \int x \cos (x) d x$

Этап 2.3.8

Найдя решение для $\int e^{x} \sin (x) d x$ , получим $\int e^{x} \sin (x) d x$ = $\frac{\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x})}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x})}{2} + C_{2} + \int x \cos (x) d x$

Этап 2.3.9

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = \cos (x)$ .

$y + C_{1} = \frac{\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}}{2} + C_{2} + x \sin (x) - \int \sin (x) d x$

Этап 2.3.10

Интеграл $\sin (x)$ по $x$ имеет вид $- \cos (x)$ .

$y + C_{1} = \frac{\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}}{2} + C_{2} + x \sin (x) - (- \cos (x) + C_{3})$

Этап 2.3.11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.11.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.11.1.1

Добавим $\frac{\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}}{2}$ и $x \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.11.1.1.1

Перенесем $\cos (x)$ .

$y + C_{1} = C_{2} + \frac{e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x)}{2} + x \sin (x) - (- \cos (x) + C_{3})$

Этап 2.3.11.1.1.2

Чтобы записать $x \sin (x)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y + C_{1} = C_{2} + \frac{e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x)}{2} + x \sin (x) \cdot \frac{2}{2} - (- \cos (x) + C_{3})$

Этап 2.3.11.1.1.3

Объединим $x \sin (x)$ и $\frac{2}{2}$ .

$y + C_{1} = C_{2} + \frac{e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x)}{2} + \frac{x \sin (x) \cdot 2}{2} - (- \cos (x) + C_{3})$

Этап 2.3.11.1.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y + C_{1} = C_{2} + \frac{e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x) + x \sin (x) \cdot 2}{2} - (- \cos (x) + C_{3})$

Этап 2.3.11.1.2

Перенесем $2$ влево от $x \sin (x)$ .

$y + C_{1} = C_{2} + \frac{e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{2} - (- \cos (x) + C_{3})$

Этап 2.3.11.2

Упростим.

$y + C_{1} = \frac{e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{2} + \cos (x) + C_{4}$

Этап 2.3.11.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.11.3.1

Чтобы записать $\cos (x)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{2} + \cos (x) \cdot \frac{2}{2} + C_{4}$

Этап 2.3.11.3.2

Объединим $\cos (x)$ и $\frac{2}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{2} + \frac{\cos (x) \cdot 2}{2} + C_{4}$

Этап 2.3.11.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y + C_{1} = \frac{e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x) + 2 x \sin (x) + \cos (x) \cdot 2}{2} + C_{4}$

Этап 2.3.11.3.4

Перенесем $2$ влево от $\cos (x)$ .

$y + C_{1} = \frac{e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x) + 2 x \sin (x) + 2 \cos (x)}{2} + C_{4}$

Этап 2.3.11.4

Изменим порядок членов.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x) + 2 x \sin (x) + 2 \cos (x)) + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = \frac{1}{2} (e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x) + 2 x \sin (x) + 2 \cos (x)) + K$