Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} + 6 y + \ln (x) = 0$

Этап 1

Вычтем $\ln (x)$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d y}{d x} + 6 y = - \ln (x)$

Этап 2

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int 6 d x}$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$e^{6 x + C}$

Этап 2.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{6 x}$

Этап 3

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $e^{6 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член на $e^{6 x}$ .

$e^{6 x} \frac{d y}{d x} + e^{6 x} (6 y) = e^{6 x} (- \ln (x))$

Этап 3.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$e^{6 x} \frac{d y}{d x} + 6 e^{6 x} y = e^{6 x} (- \ln (x))$

Этап 3.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$e^{6 x} \frac{d y}{d x} + 6 e^{6 x} y = - e^{6 x} \ln (x)$

Этап 3.4

Изменим порядок множителей в $e^{6 x} \frac{d y}{d x} + 6 e^{6 x} y = - e^{6 x} \ln (x)$ .

$e^{6 x} \frac{d y}{d x} + 6 y e^{6 x} = - e^{6 x} \ln (x)$

Этап 4

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [e^{6 x} y] = - e^{6 x} \ln (x)$

Этап 5

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [e^{6 x} y] d x = \int - e^{6 x} \ln (x) d x$

Этап 6

Проинтегрируем левую часть.

$e^{6 x} y = \int - e^{6 x} \ln (x) d x$

Этап 7

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$e^{6 x} y = - \int e^{6 x} \ln (x) d x$

Этап 7.2

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \ln (x)$ и $d v = e^{6 x}$ .

$e^{6 x} y = - (\ln (x) (\frac{1}{6} e^{6 x}) - \int \frac{1}{6} e^{6 x} \frac{1}{x} d x)$

Этап 7.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Объединим $\frac{1}{6}$ и $e^{6 x}$ .

$e^{6 x} y = - (\ln (x) \frac{e^{6 x}}{6} - \int \frac{1}{6} e^{6 x} \frac{1}{x} d x)$

Этап 7.3.2

Объединим $\ln (x)$ и $\frac{e^{6 x}}{6}$ .

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \int \frac{1}{6} e^{6 x} \frac{1}{x} d x)$

Этап 7.3.3

Объединим $\frac{1}{6}$ и $e^{6 x}$ .

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \int \frac{e^{6 x}}{6} \cdot \frac{1}{x} d x)$

Этап 7.3.4

Умножим $\frac{e^{6 x}}{6}$ на $\frac{1}{x}$ .

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \int \frac{e^{6 x}}{6 x} d x)$

Этап 7.4

Поскольку $\frac{1}{6}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{6}$ из-под знака интеграла.

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - (\frac{1}{6} \int \frac{e^{6 x}}{x} d x))$

Этап 7.5

Пусть $u = 6 x$ . Тогда $d u = 6 d x$ , следовательно $\frac{1}{6} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Пусть $u = 6 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1.1

Дифференцируем $6 x$ .

$\frac{d}{d x} [6 x]$

Этап 7.5.1.2

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 7.5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$6 \cdot 1$

Этап 7.5.1.4

Умножим $6$ на $1$ .

$6$

Этап 7.5.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6} \int \frac{e^{u}}{\frac{u}{6}} \cdot \frac{1}{6} d u)$

Этап 7.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.1

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{u}{6}$ .

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6} \int e^{u} \frac{6}{u} \frac{1}{6} d u)$

Этап 7.6.2

Объединим $e^{u}$ и $\frac{6}{u}$ .

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6} \int \frac{e^{u} \cdot 6}{u} \cdot \frac{1}{6} d u)$

Этап 7.6.3

Перенесем $6$ влево от $e^{u}$ .

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6} \int \frac{6 \cdot e^{u}}{u} \cdot \frac{1}{6} d u)$

Этап 7.6.4

Умножим $\frac{6 e^{u}}{u}$ на $\frac{1}{6}$ .

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6} \int \frac{6 e^{u}}{u \cdot 6} d u)$

Этап 7.6.5

Перенесем $6$ влево от $u$ .

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6} \int \frac{6 e^{u}}{6 \cdot u} d u)$

Этап 7.6.6

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.6.1

Сократим общий множитель.

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6} \int \frac{6 e^{u}}{6 u} d u)$

Этап 7.6.6.2

Перепишем это выражение.

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6} \int \frac{e^{u}}{u} d u)$

Этап 7.7

$\int \frac{e^{u}}{u} d u$ — особый интеграл. Интеграл представляет собой экспоненциальную интегральную функцию.

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6} (E i (u) + C))$

Этап 7.8

Перепишем $- (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6} (E i (u) + C))$ в виде $- (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \frac{E i (u)}{6}) + C$ .

$e^{6 x} y = - (\frac{1}{6} \ln (x) e^{6 x} - \frac{E i (u)}{6}) + C$

Этап 8

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Умножим $\frac{1}{6} (\ln (x) e^{6 x})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1.1

Объединим $\ln (x)$ и $\frac{1}{6}$ .

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x)}{6} e^{6 x} - \frac{E i (u)}{6}) + C$

Этап 8.1.1.2

Объединим $\frac{\ln (x)}{6}$ и $e^{6 x}$ .

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \frac{E i (u)}{6}) + C$

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \frac{E i u}{6}) + C$

Этап 8.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{6 x} y = - \frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - - \frac{E i u}{6} + C$

Этап 8.1.3

Умножим $- - \frac{E i u}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$e^{6 x} y = - \frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} + 1 \frac{E i u}{6} + C$

Этап 8.1.3.2

Умножим $\frac{E i u}{6}$ на $1$ .

$e^{6 x} y = - \frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} + \frac{E i u}{6} + C$

Этап 8.1.4

Изменим порядок множителей в $- \frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} + \frac{E i u}{6}$ .

$e^{6 x} y = - \frac{e^{6 x} \ln (x)}{6} + \frac{E i u}{6} + C$

Этап 8.2

Разделим каждый член $e^{6 x} y = - \frac{e^{6 x} \ln (x)}{6} + \frac{E i u}{6} + C$ на $e^{6 x}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Разделим каждый член $e^{6 x} y = - \frac{e^{6 x} \ln (x)}{6} + \frac{E i u}{6} + C$ на $e^{6 x}$ .

$\frac{e^{6 x} y}{e^{6 x}} = \frac{- \frac{e^{6 x} \ln (x)}{6}}{e^{6 x}} + \frac{\frac{E i u}{6}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Этап 8.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Сократим общий множитель $e^{6 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{6 x} y}{e^{6 x}} = \frac{- \frac{e^{6 x} \ln (x)}{6}}{e^{6 x}} + \frac{\frac{E i u}{6}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Этап 8.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- \frac{e^{6 x} \ln (x)}{6}}{e^{6 x}} + \frac{\frac{E i u}{6}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Этап 8.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$y = - \frac{e^{6 x} \ln (x)}{6} \cdot \frac{1}{e^{6 x}} + \frac{\frac{E i u}{6}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Этап 8.2.3.1.2

Сократим общий множитель $e^{6 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{e^{6 x} \ln (x)}{6}$ в числитель.

$y = \frac{- e^{6 x} \ln (x)}{6} \cdot \frac{1}{e^{6 x}} + \frac{\frac{E i u}{6}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Этап 8.2.3.1.2.2

Вынесем множитель $e^{6 x}$ из $- e^{6 x} \ln (x)$ .

$y = \frac{e^{6 x} (- 1 \ln (x))}{6} \cdot \frac{1}{e^{6 x}} + \frac{\frac{E i u}{6}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Этап 8.2.3.1.2.3

Сократим общий множитель.

$y = \frac{e^{6 x} (- 1 \ln (x))}{6} \cdot \frac{1}{e^{6 x}} + \frac{\frac{E i u}{6}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Этап 8.2.3.1.2.4

Перепишем это выражение.

$y = \frac{- 1 \ln (x)}{6} + \frac{\frac{E i u}{6}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Этап 8.2.3.1.3

Перепишем $\frac{- 1 \ln (x)}{6}$ в виде $\frac{- 1}{6} \ln (x)$ .

$y = \frac{- 1}{6} \ln (x) + \frac{\frac{E i u}{6}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Этап 8.2.3.1.4

Упростим $\frac{- 1}{6} \ln (x)$ путем переноса $- \frac{- 1}{6}$ под логарифм.

$y = - \ln (x^{- \frac{- 1}{6}}) + \frac{\frac{E i u}{6}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Этап 8.2.3.1.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \ln (x^{- - \frac{1}{6}}) + \frac{\frac{E i u}{6}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Этап 8.2.3.1.6

Умножим $- - \frac{1}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1.6.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y = - \ln (x^{1 (\frac{1}{6})}) + \frac{\frac{E i u}{6}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Этап 8.2.3.1.6.2

Умножим $\frac{1}{6}$ на $1$ .

$y = - \ln (x^{\frac{1}{6}}) + \frac{\frac{E i u}{6}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Этап 8.2.3.1.7

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$y = - \ln (x^{\frac{1}{6}}) + \frac{E i u}{6} \cdot \frac{1}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Этап 8.2.3.1.8

Объединим.

$y = - \ln (x^{\frac{1}{6}}) + \frac{E i u \cdot 1}{6 e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Этап 8.2.3.1.9

Умножим $E$ на $1$ .

$y = - \ln (x^{\frac{1}{6}}) + \frac{E i u}{6 e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$