Математический анализ Примеры

$(2 x^{3} + y^{3}) d x - 3 x y^{2} d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = 2 x^{3} + y^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x^{3} + y^{3}]$

Этап 1.2

По правилу суммы производная $2 x^{3} + y^{3}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [2 x^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Этап 1.3

Поскольку $2 x^{3}$ является константой относительно $y$ , производная $2 x^{3}$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3 y^{2}$

Этап 1.5

Добавим $0$ и $3 y^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{2}$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = - 3 x y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}]$

Этап 2.2

Поскольку $- 3 y^{2}$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x y^{2}$ по $x$ равна $- 3 y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 3 y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 3 y^{2} \cdot 1$

Этап 2.4

Умножим $- 3$ на $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 3 y^{2}$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $3 y^{2}$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $- 3 y^{2}$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$3 y^{2} = - 3 y^{2}$

Этап 3.2

Так как левая часть не равна правой, уравнение не является тождеством.

$3 y^{2} = - 3 y^{2}$ не является тождеством.

Этап 4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $3 y^{2}$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{3 y^{2} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Этап 4.2

Подставим $- 3 y^{2}$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{3 y^{2} - (- 3 y^{2})}{N}$

Этап 4.3

Подставим $- 3 x y^{2}$ вместо $N$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $- 3 x y^{2}$ вместо $N$ .

$\frac{3 y^{2} - (- 3 y^{2})}{- 3 x y^{2}}$

Этап 4.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Вынесем множитель $y^{2}$ из $3 y^{2} - (- 3 y^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Вынесем множитель $y^{2}$ из $3 y^{2}$ .

$\frac{y^{2} \cdot 3 - (- 3 y^{2})}{- 3 x y^{2}}$

Этап 4.3.2.1.2

Вынесем множитель $y^{2}$ из $- (- 3 y^{2})$ .

$\frac{y^{2} \cdot 3 + y^{2} (- (- 3))}{- 3 x y^{2}}$

Этап 4.3.2.1.3

Вынесем множитель $y^{2}$ из $y^{2} \cdot 3 + y^{2} (- (- 3))$ .

$\frac{y^{2} (3 - (- 3))}{- 3 x y^{2}}$

Этап 4.3.2.2

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$\frac{y^{2} (3 + 3)}{- 3 x y^{2}}$

Этап 4.3.2.3

Добавим $3$ и $3$ .

$\frac{y^{2} \cdot 6}{- 3 x y^{2}}$

Этап 4.3.3

Сократим общий множитель $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y^{2} \cdot 6}{- 3 x y^{2}}$

Этап 4.3.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{6}{- 3 x}$

Этап 4.3.4

Сократим общий множитель $6$ и $- 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$\frac{3 (2)}{- 3 x}$

Этап 4.3.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.2.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3 x$ .

$\frac{3 (2)}{3 (- x)}$

Этап 4.3.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 2}{3 (- x)}$

Этап 4.3.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{- x}$

Этап 4.3.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2}{x}$

Этап 4.4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

Этап 5

Найдем интеграл $e^{\int - \frac{2}{x} d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

Этап 5.2

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

Этап 5.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

Этап 5.4

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

Этап 5.5

Упростим.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| x |)} + C$

Этап 5.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Упростим $- 2 \ln (| x |)$ путем переноса $- 2$ под логарифм.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 2})} + C$

Этап 5.6.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 2} + C$

Этап 5.6.3

Уберем знак модуля в ${| x |}^{- 2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$μ (x, y) = x^{- 2} + C$

Этап 5.6.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{x^{2}} + C$

Этап 6

Умножим обе стороны $(2 x^{3} + y^{3}) d x - 3 x y^{2} d y = 0$ на коэффициент интегрирования $\frac{1}{x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $2 x^{3} + y^{3}$ на $\frac{1}{x^{2}}$ .

$(2 x^{3} + y^{3}) \frac{1}{x^{2}} d x - 3 x y^{2} d y = 0$

Этап 6.2

Умножим $2 x^{3} + y^{3}$ на $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{2 x^{3} + y^{3}}{x^{2}} d x - 3 x y^{2} d y = 0$

Этап 6.3

Умножим $- 3 x y^{2}$ на $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{2 x^{3} + y^{3}}{x^{2}} d x - 3 x y^{2} \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

Этап 6.4

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Вынесем множитель $x$ из $- 3 x y^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} + y^{3}}{x^{2}} d x + x (- 3 y^{2}) \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

Этап 6.4.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} + y^{3}}{x^{2}} d x + x (- 3 y^{2}) \frac{1}{x \cdot x} d y = 0$

Этап 6.4.3

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x^{3} + y^{3}}{x^{2}} d x + x (- 3 y^{2}) \frac{1}{x \cdot x} d y = 0$

Этап 6.4.4

Перепишем это выражение.

$\frac{2 x^{3} + y^{3}}{x^{2}} d x - 3 y^{2} \frac{1}{x} d y = 0$

Этап 6.5

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{2 x^{3} + y^{3}}{x^{2}} d x + y^{2} \frac{- 3}{x} d y = 0$

Этап 6.6

Объединим $y^{2}$ и $\frac{- 3}{x}$ .

$\frac{2 x^{3} + y^{3}}{x^{2}} d x + \frac{y^{2} \cdot - 3}{x} d y = 0$

Этап 6.7

Перенесем $- 3$ влево от $y^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} + y^{3}}{x^{2}} d x + \frac{- 3 \cdot y^{2}}{x} d y = 0$

Этап 6.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{2 x^{3} + y^{3}}{x^{2}} d x - \frac{3 y^{2}}{x} d y = 0$

Этап 7

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - \frac{3 y^{2}}{x} d y$

Этап 8

Проинтегрируем $N (x, y) = - \frac{3 y^{2}}{x}$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = - \int \frac{3 y^{2}}{x} d y$

Этап 8.2

Поскольку $\frac{3}{x}$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $\frac{3}{x}$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = - (\frac{3}{x} \int y^{2} d y)$

Этап 8.3

Избавимся от скобок.

$f (x, y) = - \frac{3}{x} \int y^{2} d y$

Этап 8.4

По правилу степени интеграл $y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$f (x, y) = - \frac{3}{x} (\frac{1}{3} y^{3} + C)$

Этап 8.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Перепишем $- \frac{3}{x} (\frac{1}{3} y^{3} + C)$ в виде $- \frac{3}{x} \cdot \frac{1}{3} y^{3} + C$ .

$f (x, y) = - \frac{3}{x} \cdot \frac{1}{3} y^{3} + C$

Этап 8.5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.2.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{3}{x}$ .

$f (x, y) = - \frac{3}{3 x} y^{3} + C$

Этап 8.5.2.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.2.2.1

Сократим общий множитель.

$f (x, y) = - \frac{3}{3 x} y^{3} + C$

Этап 8.5.2.2.2

Перепишем это выражение.

$f (x, y) = - \frac{1}{x} y^{3} + C$

Этап 8.5.2.3

Объединим $y^{3}$ и $\frac{1}{x}$ .

$f (x, y) = - \frac{y^{3}}{x} + C$

Этап 9

Так как интеграл $g (x)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (x)$ .

$f (x, y) = - \frac{y^{3}}{x} + g (x)$

Этап 10

Зададим $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{2 x^{3} + y^{3}}{x^{2}}$

Этап 11

Найдем $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Продифференцируем $f$ по $x$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{y^{3}}{x} + g (x)] = \frac{2 x^{3} + y^{3}}{x^{2}}$

Этап 11.2

По правилу суммы производная $- \frac{y^{3}}{x} + g (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- \frac{y^{3}}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{y^{3}}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 x^{3} + y^{3}}{x^{2}}$

Этап 11.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{y^{3}}{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Поскольку $- y^{3}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{y^{3}}{x}$ по $x$ равна $- y^{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$- y^{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 x^{3} + y^{3}}{x^{2}}$

Этап 11.3.2

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$- y^{3} \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 x^{3} + y^{3}}{x^{2}}$

Этап 11.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$- y^{3} (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 x^{3} + y^{3}}{x^{2}}$

Этап 11.3.4

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 y^{3} x^{- 2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 x^{3} + y^{3}}{x^{2}}$

Этап 11.3.5

Умножим $y^{3}$ на $1$ .

$y^{3} x^{- 2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 x^{3} + y^{3}}{x^{2}}$

Этап 11.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (x)$ равна $\frac{d g}{d x}$ .

$y^{3} x^{- 2} + \frac{d g}{d x} = \frac{2 x^{3} + y^{3}}{x^{2}}$

Этап 11.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y^{3} \frac{1}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{2 x^{3} + y^{3}}{x^{2}}$

Этап 11.5.2

Объединим $y^{3}$ и $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{y^{3}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{2 x^{3} + y^{3}}{x^{2}}$

Этап 11.5.3

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{3}}{x^{2}} = \frac{2 x^{3} + y^{3}}{x^{2}}$

Этап 12

Решим относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Решим относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Перенесем все члены с переменными в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.1

Вычтем $\frac{2 x^{3} + y^{3}}{x^{2}}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{3}}{x^{2}} - \frac{2 x^{3} + y^{3}}{x^{2}} = 0$

Этап 12.1.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{3} - (2 x^{3} + y^{3})}{x^{2}} = 0$

Этап 12.1.1.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{3} - (2 x^{3}) - y^{3}}{x^{2}} = 0$

Этап 12.1.1.3.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{3} - 2 x^{3} - y^{3}}{x^{2}} = 0$

Этап 12.1.1.4

Объединим противоположные члены в $y^{3} - 2 x^{3} - y^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.4.1

Вычтем $y^{3}$ из $y^{3}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 x^{3} + 0}{x^{2}} = 0$

Этап 12.1.1.4.2

Добавим $- 2 x^{3}$ и $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 x^{3}}{x^{2}} = 0$

Этап 12.1.1.5

Сократим общий множитель $x^{3}$ и $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.5.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- 2 x^{3}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{2} (- 2 x)}{x^{2}} = 0$

Этап 12.1.1.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.5.2.1

Умножим на $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{2} (- 2 x)}{x^{2} \cdot 1} = 0$

Этап 12.1.1.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{2} (- 2 x)}{x^{2} \cdot 1} = 0$

Этап 12.1.1.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 x}{1} = 0$

Этап 12.1.1.5.2.4

Разделим $- 2 x$ на $1$ .

$\frac{d g}{d x} - 2 x = 0$

Этап 12.1.2

Добавим $2 x$ к обеим частям уравнения.

$\frac{d g}{d x} = 2 x$

Этап 13

Найдем первообразную $2 x$ , чтобы найти $g (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d x} = 2 x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 2 x d x$

Этап 13.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 2 x d x$

Этап 13.3

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$g (x) = 2 \int x d x$

Этап 13.4

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Этап 13.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.5.1

Перепишем $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ в виде $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$g (x) = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Этап 13.5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.5.2.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Этап 13.5.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.5.2.2.1

Сократим общий множитель.

$g (x) = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Этап 13.5.2.2.2

Перепишем это выражение.

$g (x) = 1 x^{2} + C$

Этап 13.5.2.3

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$g (x) = x^{2} + C$

Этап 14

Подставим выражение для $g (x)$ в $f (x, y) = - \frac{y^{3}}{x} + g (x)$ .

$f (x, y) = - \frac{y^{3}}{x} + x^{2} + C$